行列式（3次元）計算とは
このツールは、3×3行列 A の9つの実数成分から行列式を求め、あわせてその逆数（1/det A）も表示します。行列式は、その行列が逆行列を持つかどうかを示す1つの数値です。行列式が0でなければ逆行列が存在し（正則行列）、0であれば逆行列を持たない特異行列であることを意味します。
使い方
ラベル付きのマス目に9つの成分を入力します。a-行-列 は、その行と列に位置する要素を表します。各セルには任意の実数（正・負・小数）を入力できます。「計算」を押すと、メインの結果として det A が、その下に 1/det A が表示されます。行列式が0の場合、逆数は「定義されない」と表示されます。
計算式の解説
第1行に沿った余因子展開（ラプラス展開）を用いると次のようになります。
$$\det A = a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31})$$
これはサラスの公式と同じで、左上から右下への3つの対角成分の積を足し、右上から左下への3つの対角成分の積を引いたものに等しくなります。この値は、行列 A が表す一次変換による体積の拡大・縮小率（符号付き）を表します。負の値は、その変換が向きを反転させることを示します。
計算例
\(A = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,10]]\) の場合：
$$\det A = 1(5 \times 10 - 6 \times 8) - 2(4 \times 10 - 6 \times 7) + 3(4 \times 8 - 5 \times 7) = 1(2) - 2(-2) + 3(-3) = 2 + 4 - 9 = -3$$
となります。逆数は \(1/(-3) = -0.3333\ldots\) です。det A が0でないため、この行列は正則（逆行列を持つ）です。
より詳しい例
各例は最初の行に沿った余因子展開を使用します：
$$\det A = a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})$$例1 — 特異行列（det = 0）
ここで第3行は最初の2行の和そのものなので、行列は特異です。
$$A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 5 & 7 & 9\end{pmatrix}$$最初の行に沿って展開します：
- \(1\,(5\cdot 9 - 6\cdot 7) = 1\,(45-42) = 3\)
- \(-\,2\,(4\cdot 9 - 6\cdot 5) = -2\,(36-30) = -12\)
- \(+\,3\,(4\cdot 7 - 5\cdot 5) = 3\,(28-25) = 9\)
合計：\(3 - 12 + 9 = \) 0。\(\det A = 0\)であるため、行列は特異であり、逆数\(1/\det A\)は未定義です（逆行列は存在しません）。
例2 — 負の数と小数を含む項
$$A=\begin{pmatrix}2 & -1 & 0.5\\ -3 & 4 & 1\\ 0 & 2 & -2\end{pmatrix}$$最初の行に沿って展開します：
- \(2\,(4\cdot(-2) - 1\cdot 2) = 2\,(-8-2) = 2\,(-10) = -20\)
- \(-\,(-1)\,((-3)\cdot(-2) - 1\cdot 0) = +1\,(6-0) = 6\)
- \(+\,0.5\,((-3)\cdot 2 - 4\cdot 0) = 0.5\,(-6-0) = -3\)
合計：\(-20 + 6 - 3 = \) -17。逆数は\(1/\det A = -1/17 \approx -0.0588\)です。
例3 — 上三角行列（det = 対角線の積）
$$A=\begin{pmatrix}3 & 5 & -2\\ 0 & 4 & 7\\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}$$最初の行に沿って展開します（左下のゼロにより非対角余因子は消えることに注意）：
- \(3\,(4\cdot 2 - 7\cdot 0) = 3\,(8) = 24\)
- \(-\,5\,(0\cdot 2 - 7\cdot 0) = -5\,(0) = 0\)
- \(+\,(-2)\,(0\cdot 0 - 4\cdot 0) = -2\,(0) = 0\)
合計：\(24 + 0 + 0 = \) 24。これは対角線上の項の積\(3\cdot 4\cdot 2 = 24\)に等しいです。任意の三角行列に対して、行列式は単に対角線上の項の積です。
主な用語の説明
- 行列式（\(\det A\)または\(|A|\)）
- 正方行列から計算される単一のスカラーで、行列が可逆かどうか、および体積をどのようにスケーリングするかを表します。3×3行列の場合、余因子展開によって求められます。
- 小行列式（\(M_{ij}\)）
- 行\(i\)と列\(j\)を削除した後に残る小さい行列の行列式です。3×3行列の場合、各小行列式は2×2行列式です。
- 余因子（\(C_{ij}\)）
- 符号付き小行列式：\(C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}\)。市松模様の符号パターンは\(\begin{smallmatrix}+&-&+\\-&+&-\\+&-&+\end{smallmatrix}\)です。
- ラプラス展開/余因子展開
- 選択した行または列の各項にその余因子を掛けた和として行列式を計算する方法です：\(\det A = \sum_j a_{ij}C_{ij}\)。ゼロを含む行または列を選択すると計算量が減ります。
- サリウスの規則
- 3×3行列のみの捷径：左から右への対角線積3つを加え、右から左への対角線積3つを引きます。余因子展開と同じ結果が得られます。
- 特異行列
- \(\det A = 0\)である行列。行（および列）が線形従属であるため逆行列を持ちません。
- 可逆（非特異）行列
- \(\det A \neq 0\)である行列。一意の逆行列\(A^{-1}\)を持ちます。
- 随伴行列（アジョイント）
- 余因子行列の転置です。逆行列公式\(A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,\operatorname{adj}(A)\)に現れます。
- 線形従属
- 1つの行（または列）が他の行（または列）の組み合わせとして書くことができる場合です。線形従属は\(\det A = 0\)を強制し、行列が3次元空間をより低次元の集合に写すことを意味します。
よくある質問
行列式が0になるのはどういう意味ですか？ その行列は特異行列であり、逆行列を持ちません。行または列が一次従属（線形従属）の関係にあることを意味します。
行列式は負の値になることがありますか？ はい。負の行列式は、対応する一次変換が向きを反転させることを示すだけです。その絶対値は依然として体積の拡大・縮小率を表します。
なぜ 1/det A も表示するのですか？ 逆数 \(\frac{1}{\det A}\) は、逆行列の閉じた形（余因子行列を det A で割ったもの）にスカラー係数として現れます。そのため、参考情報として便利な値です。
