ما هي حاسبة محدد المصفوفة 3×3؟
تحسب هذه الأداة محدد المصفوفة A ذات الأبعاد 3×3 انطلاقًا من عناصرها التسعة الحقيقية، كما تعرض مقلوب المحدد (\(1/\det A\)). المحدد هو عدد واحد يخبرك ما إذا كانت المصفوفة قابلة للعكس: فإذا كان المحدد مختلفًا عن الصفر فإن للمصفوفة مصفوفة معكوسة، أما إذا ساوى الصفر فالمصفوفة شاذة (غير قابلة للعكس).
كيفية الاستخدام
أدخل كلًّا من العناصر التسعة في الشبكة الموسومة، حيث يشير الرمز a-الصف-العمود إلى العنصر الواقع في ذلك الصف والعمود. تقبل كل خانة أي عدد حقيقي (موجبًا كان أو سالبًا أو عشريًا). اضغط على «احسب» لتظهر لك \(\det A\) كنتيجة رئيسية ويظهر تحتها \(1/\det A\). وإذا كان المحدد يساوي صفرًا فسيُعرض المقلوب على أنه غير معرّف.
شرح الصيغة
باستخدام مفكوك العوامل المرافقة (مفكوك لابلاس) على طول الصف الأول:
$$\det A = a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})$$
وهذا يكافئ قاعدة ساروس، التي تجمع حواصل ضرب الأقطار الثلاثة المتجهة من اليسار إلى اليمين وتطرح منها حواصل ضرب الأقطار الثلاثة المتجهة من اليمين إلى اليسار. وتمثّل النتيجة معامل تغيّر الحجم المُوَقَّع للتحويل الخطي الذي تمثّله المصفوفة A؛ فالقيمة السالبة تدل على أن التحويل يعكس الاتجاه.
مثال محلول
لتكن A = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,10]]:
$$\det A = 1(5\cdot 10 - 6\cdot 8) - 2(4\cdot 10 - 6\cdot 7) + 3(4\cdot 8 - 5\cdot 7) = 1(2) - 2(-2) + 3(-3) = 2 + 4 - 9 = -3$$
ومقلوبه هو \(1/(-3) = -0.3333\ldots\) وبما أن \(\det A\) يختلف عن الصفر، فإن المصفوفة قابلة للعكس.
أمثلة عملية إضافية
يستخدم كل مثال توسيع العامل المساعد على طول الصف الأول:
$$\det A = a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})$$المثال 1 — مصفوفة منفردة (det = 0)
هنا الصف الثالث هو بالضبط مجموع الصفين الأول والثاني، لذا المصفوفة منفردة.
$$A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 5 & 7 & 9\end{pmatrix}$$توسيع على طول الصف الأول:
- \(1\,(5\cdot 9 - 6\cdot 7) = 1\,(45-42) = 3\)
- \(-\,2\,(4\cdot 9 - 6\cdot 5) = -2\,(36-30) = -12\)
- \(+\,3\,(4\cdot 7 - 5\cdot 5) = 3\,(28-25) = 9\)
المجموع: \(3 - 12 + 9 = \) 0. لأن \(\det A = 0\)، المصفوفة منفردة والمقلوب \(1/\det A\) غير معرّف (لا يوجد معكوس).
المثال 2 — مدخلات سالبة وعشرية
$$A=\begin{pmatrix}2 & -1 & 0.5\\ -3 & 4 & 1\\ 0 & 2 & -2\end{pmatrix}$$توسيع على طول الصف الأول:
- \(2\,(4\cdot(-2) - 1\cdot 2) = 2\,(-8-2) = 2\,(-10) = -20\)
- \(-\,(-1)\,((-3)\cdot(-2) - 1\cdot 0) = +1\,(6-0) = 6\)
- \(+\,0.5\,((-3)\cdot 2 - 4\cdot 0) = 0.5\,(-6-0) = -3\)
المجموع: \(-20 + 6 - 3 = \) -17. المقلوب هو \(1/\det A = -1/17 \approx -0.0588\).
المثال 3 — مصفوفة مثلثية عليا (det = حاصل ضرب القطر)
$$A=\begin{pmatrix}3 & 5 & -2\\ 0 & 4 & 7\\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}$$توسيع على طول الصف الأول (لاحظ الأصفار في الجزء السفلي الأيسر تجعل العوامل المساعدة غير القطرية تختفي):
- \(3\,(4\cdot 2 - 7\cdot 0) = 3\,(8) = 24\)
- \(-\,5\,(0\cdot 2 - 7\cdot 0) = -5\,(0) = 0\)
- \(+\,(-2)\,(0\cdot 0 - 4\cdot 0) = -2\,(0) = 0\)
المجموع: \(24 + 0 + 0 = \) 24، وهو يساوي حاصل ضرب مدخلات القطر \(3\cdot 4\cdot 2 = 24\). لأي مصفوفة مثلثية، المحدد هو ببساطة حاصل ضرب القطر.
المصطلحات الأساسية شرح
- المحدد (\(\det A\) أو \(|A|\))
- عدد عددي واحد يُحسب من مصفوفة مربعة يشفّر ما إذا كانت المصفوفة قابلة للعكس وكيف يتم تحجيم الحجم. لمصفوفة 3×3 يتم العثور عليه بواسطة توسيع العامل المساعد.
- الصغير (\(M_{ij}\))
- محدد المصفوفة الأصغر المتبقية بعد حذف الصف \(i\) والعمود \(j\). لمصفوفة 3×3 كل صغير هو محدد 2×2.
- العامل المساعد (\(C_{ij}\))
- صغير موقّع: \(C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}\). نمط الإشارة على رقعة الشطرنج هو \(\begin{smallmatrix}+&-&+\\-&+&-\\+&-&+\end{smallmatrix}\).
- توسيع لابلاس / توسيع العامل المساعد
- طريقة تحسب المحدد كمجموع كل مدخل في صف أو عمود مختار مضروب بعامله المساعد: \(\det A = \sum_j a_{ij}C_{ij}\). اختيار صف أو عمود يحتوي على أصفار يقلل من العمل.
- قاعدة ساروس
- اختصار لمصفوفات 3×3 فقط: أضف حواصل الضرب القطرية الثلاثة من اليسار إلى اليمين واطرح حواصل الضرب القطرية الثلاثة من اليمين إلى اليسار. يعطي نفس النتيجة مثل توسيع العامل المساعد.
- مصفوفة منفردة
- مصفوفة بها \(\det A = 0\)؛ ليس لديها معكوس لأن الصفوف (والأعمدة) تعتمد خطيًا.
- مصفوفة قابلة للعكس (غير منفردة)
- مصفوفة بها \(\det A \neq 0\)؛ لديها معكوس فريد \(A^{-1}\).
- المساعد (الملحق)
- منقول مصفوفة العامل المساعد. يظهر في صيغة المعكوس \(A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,\operatorname{adj}(A)\).
- الاعتماد الخطي
- عندما يمكن كتابة صف واحد (أو عمود) كمزيج من الآخرين. الاعتماد الخطي يفرض \(\det A = 0\) ويعني أن المصفوفة تخطط مساحة ثلاثية الأبعاد على مجموعة أقل بُعدًا.
الأسئلة الشائعة
ماذا يعني أن يكون المحدد صفرًا؟ المصفوفة شاذة ولا معكوس لها؛ إذ تكون صفوفها أو أعمدتها مرتبطة خطيًا.
هل يمكن أن يكون المحدد سالبًا؟ نعم. القيمة السالبة تعني ببساطة أن التحويل المرتبط بها يعكس الاتجاه، وتظل قيمته المطلقة تمثّل معامل تغيّر الحجم.
لماذا تُعرض \(1/\det A\)؟ يظهر المقلوب كعامل قياسي في الصيغة المغلقة لمعكوس المصفوفة (المصفوفة المرافقة مقسومة على \(\det A\))، لذا فهو قيمة معلوماتية مفيدة.
