ما هي مجموعة القوى؟
مجموعة القوى لمجموعة ما S، ويُرمز لها بالرمز \( \mathcal{P}(S) \)، هي مجموعة كل المجموعات الجزئية الممكنة لـ S — بدءًا من المجموعة الخالية ∅ ووصولًا إلى المجموعة S نفسها. على سبيل المثال، مجموعة القوى للمجموعة {a، b} هي { {}، {a}، {b}، {a، b} }. تحسب حاسبة مجموعة القوى هذه عدد المجموعات الجزئية لأي مجموعة، كما تعرض — في حالة المجموعات الصغيرة — كل مجموعة جزئية واحدة تلو الأخرى.
شرح القانون
إذا كانت المجموعة S تحتوي على n من العناصر المتمايزة (أي أن قوّتها العددية \( |S| = n \))، فإن عدد المجموعات الجزئية يساوي تمامًا \( 2^{n} \). والتفسير بسيط: لكل عنصر تتخذ قرارًا ثنائيًا مستقلًا — إما أن تُدرجه ضمن المجموعة الجزئية أو تتركه خارجها. ومع وجود n من الخيارات المستقلة من نوع «نعم/لا»، تحصل على \( 2 \times 2 \times \ldots \times 2 = 2^{n} \) من التوليفات المختلفة، وكل توليفة تمثّل مجموعة جزئية واحدة.
$$ \left| \mathcal{P}(S) \right| = 2^{n}, \quad n = \left| \text{Distinct Elements} \right| $$
كيفية استخدام الحاسبة
اكتب عناصر مجموعتك مفصولة بفواصل (مثل 1، 2، 3 أو أحمر، أخضر، أزرق). يجري تجاهل العناصر المكررة تلقائيًا، لأن المجموعات لا تحتوي إلا على عناصر متمايزة. ثم اختر إن كنت ترغب في الحصول على القائمة الكاملة للمجموعات الجزئية — علمًا بأن العرض يقتصر على المجموعات التي لا يتجاوز عدد عناصرها 12 عنصرًا، إذ إن \( 2^{13} \) يتجاوز بالفعل 8000 مجموعة جزئية.
مثال محلول
لنأخذ S = {a، b، c}، أي أن n = 3. عدد المجموعات الجزئية هو \( 2^{3} = 8 \)، وهي: {}، {a}، {b}، {c}، {a، b}، {a، c}، {b، c}، و{a، b، c}. لاحظ أن المجموعة الخالية والمجموعة الكاملة كلتيهما مُدرجتان — وهذا ما يجعلها مجموعة قوى.
الأسئلة الشائعة
هل تُدرَج المجموعة الخالية دائمًا؟ نعم. كل مجموعة قوى تحتوي على المجموعة الخالية ∅ وعلى المجموعة الأصلية S نفسها.
ما هي مجموعة القوى للمجموعة الخالية؟ تحتوي على \( 2^{0} = 1 \) عنصر فقط، وهو { {} } — أي مجموعة تضم المجموعة الخالية وحدها.
لماذا لا تعرض الحاسبة المجموعات الجزئية للمجموعات الكبيرة؟ لأن مجموعة مكوّنة من 20 عنصرًا لها أكثر من مليون مجموعة جزئية، وهو ما يتعذّر عرضه عمليًا. أما العدد (\( 2^{n} \)) فيُعرض دائمًا مهما كان حجم المجموعة.
