पावर सेट कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

समुच्चय के अवयव (कॉमा से अलग)

क्या सभी उपसमुच्चयों की सूची दिखाएं? हाँ (अगर समुच्चय छोटा हो) नहीं, सिर्फ़ संख्या दिखाएं

परिणाम

उपसमुच्चयों की संख्या |P(S)|

8

= 2^3

समुच्चय की गणनसंख्या (n)	3
पावर सेट का आकार	8
सूचीबद्ध उपसमुच्चय	8

{} {a} {b} {a, b} {c} {a, c} {b, c} {a, b, c}

पावर सेट क्या होता है?

किसी समुच्चय S का पावर सेट, जिसे P(S) लिखा जाता है, उसके सभी संभव उपसमुच्चयों का समुच्चय होता है — रिक्त समुच्चय ∅ से लेकर खुद S तक। उदाहरण के लिए, {a, b} का पावर सेट होता है { {}, {a}, {b}, {a, b} }। यह पावर सेट कैलकुलेटर बताता है कि किसी समुच्चय में कितने उपसमुच्चय होते हैं और छोटे समुच्चयों के लिए उनमें से हर एक की सूची भी देता है।

3 अवयवों वाले समुच्चय का घात समुच्चय सभी 8 संभावित उपसमुच्चयों को शामिल करता है, रिक्त समुच्चय सहित।

सूत्र को समझें

अगर किसी समुच्चय S में n अलग-अलग अवयव हैं (यानी इसकी गणनसंख्या \(|S| = n\)), तो उसके उपसमुच्चयों की संख्या ठीक \(2^{n}\) होगी।

$$\left| \mathcal{P}(S) \right| = 2^{n}, \quad n = \left| \text{Distinct Elements} \right|$$

इसका तर्क बहुत सरल है: हर अवयव के लिए आपके पास दो विकल्प होते हैं — या तो उसे उपसमुच्चय में शामिल करें या छोड़ दें। ऐसे n स्वतंत्र हाँ/ना विकल्पों से \(2 \times 2 \times \ldots \times 2 = 2^{n}\) अलग-अलग संयोजन बनते हैं, और हर संयोजन एक उपसमुच्चय है।

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हर अवयव किसी उपसमुच्चय में या तो होता है या नहीं, यानी प्रति अवयव 2 विकल्प और कुल \(2^{n}\) उपसमुच्चय।

कैलकुलेटर कैसे इस्तेमाल करें

अपने समुच्चय के अवयवों को कॉमा से अलग करके लिखें (जैसे 1, 2, 3 या red, green, blue)। दोहराए गए अवयव अपने आप हटा दिए जाते हैं, क्योंकि समुच्चय में केवल अलग-अलग अवयव ही होते हैं। फिर चुनें कि आपको उपसमुच्चयों की पूरी सूची चाहिए या नहीं — सूची सिर्फ़ 12 या उससे कम अवयवों वाले समुच्चयों के लिए दिखाई जाती है, क्योंकि \(2^{13}\) ही 8,000 से ज़्यादा उपसमुच्चय बना देता है।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए S = {a, b, c}, यानी \(n = 3\)। तो उपसमुच्चयों की संख्या होगी \(2^{3} = 8\)। ये हैं: {}, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, और {a, b, c}। ध्यान दें कि इसमें रिक्त समुच्चय और पूरा समुच्चय दोनों शामिल हैं — यही बात इसे पावर सेट बनाती है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

क्या रिक्त समुच्चय हमेशा शामिल रहता है? हाँ। हर पावर सेट में रिक्त समुच्चय ∅ और मूल समुच्चय S दोनों होते हैं।

रिक्त समुच्चय का पावर सेट क्या होता है? इसमें \(2^{0} = 1\) अवयव होता है, यानी { {} } — एक ऐसा समुच्चय जिसमें सिर्फ़ रिक्त समुच्चय होता है।

बड़े समुच्चयों के लिए उपसमुच्चय क्यों नहीं दिखाए जाते? 20 अवयवों वाले समुच्चय में दस लाख से ज़्यादा उपसमुच्चय होते हैं, जिन्हें दिखाना व्यावहारिक नहीं है। हालांकि संख्या (\(2^{n}\)) हर आकार के लिए हमेशा दिखाई जाती है।