멱집합이란?
집합 S의 멱집합은 P(S)로 표기하며, S가 가질 수 있는 모든 부분집합을 원소로 하는 집합입니다. 공집합 ∅부터 집합 S 자기 자신까지 전부 포함되죠. 예를 들어 {a, b}의 멱집합은 { {}, {a}, {b}, {a, b} }입니다. 이 멱집합 계산기는 집합의 부분집합이 몇 개인지 세어 주고, 원소 수가 적은 집합이라면 모든 부분집합을 하나도 빠짐없이 나열해 줍니다.
공식 풀이
집합 S에 서로 다른 원소가 n개 있다면(즉 농도 \(|S| = n\)), 부분집합의 개수는 정확히 \(2^{n}\)개입니다.
$$\left| \mathcal{P}(S) \right| = 2^{n}, \quad n = \left| \text{Distinct Elements} \right|$$
원리는 간단합니다. 각 원소마다 "부분집합에 포함할지, 뺄지"라는 독립적인 두 가지 선택을 하게 되는데, 이런 예/아니오 선택이 n번 반복되면 \(2 \times 2 \times \dots \times 2 = 2^{n}\)가지의 서로 다른 조합이 나오고, 각 조합이 곧 하나의 부분집합이 됩니다.
계산기 사용법
집합의 원소를 쉼표로 구분해 입력하세요(예: 1, 2, 3 또는 red, green, blue). 집합은 서로 다른 원소만 담기 때문에 중복으로 입력된 값은 자동으로 무시됩니다. 부분집합 전체 목록을 볼지 여부도 선택할 수 있는데, 목록 표시는 원소가 12개 이하인 집합에서만 제공됩니다. 원소가 13개만 되어도 \(2^{13}\)은 이미 8,000개를 넘기 때문입니다.
예제 풀이
S = {a, b, c}라고 하면 \(n = 3\)입니다. 부분집합의 개수는 \(2^{3} = 8\)개이고, 그 목록은 다음과 같습니다: {}, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}. 공집합과 집합 전체가 모두 포함된다는 점에 주목하세요. 바로 이 점이 멱집합을 멱집합답게 만드는 특징입니다.
자주 묻는 질문
공집합은 항상 포함되나요? 네. 모든 멱집합에는 공집합 ∅과 원래 집합 S 자신이 반드시 포함됩니다.
공집합의 멱집합은 무엇인가요? 원소가 \(2^{0} = 1\)개인 { {} }, 즉 공집합 하나만을 원소로 가지는 집합입니다.
큰 집합은 왜 부분집합을 나열하지 않나요? 원소가 20개인 집합은 부분집합이 100만 개가 넘어서 화면에 모두 표시하기 어렵습니다. 다만 개수(\(2^{n}\))는 집합 크기와 상관없이 항상 보여 드립니다.
