n×n 행렬식 계산기

계산 입력

행렬 크기 (n) 정사각 행렬의 차원(1~10)입니다. 값을 바꾼 뒤 다시 열면 격자 크기가 조정됩니다.

행렬 성분 (행 단위 입력)

표시할 유효 자릿수 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50

결과

행렬식 det(A)

-3

3×3 matrix

역수 1/det(A)	-0.33333333333333
행렬 크기 (n)	3
특이행렬 여부	No (invertible)

n×n 행렬식 계산기란?

이 도구는 실수로 이루어진 임의의 정사각 n×n 행렬에 대해 행렬식 \(\det(A)\)과 그 역수 \(\frac{1}{\det(A)}\)을 계산합니다. 행렬식은 하나의 숫자로, 해당 행렬이 역행렬을 가지는지(\(\det \neq 0\)) 아니면 특이행렬인지(\(\det = 0\))를 알려 줍니다. 선형대수 전반은 물론 기하학(부호가 있는 부피 변화율)이나 연립방정식 풀이에서도 자주 등장하는 개념입니다. 행렬식 계산은 보편적인 수학이므로 어느 나라에서든 동일하게 적용됩니다.

사용 방법

먼저 행렬 크기 \(n\)(1~10)을 정한 다음, 격자의 각 성분 \(a_{ij}\)에 값을 입력하세요. 성분에는 음수, 소수, 0을 모두 넣을 수 있습니다. 더 정밀한 결과가 필요하면 표시할 자릿수를 선택하면 됩니다. 계산기는 행렬식을 반환하고, 행렬이 역행렬을 가질 경우 역수 \(\frac{1}{\det(A)}\)도 함께 보여 줍니다. 행렬식이 0이면 특이행렬로 표시하고 역수는 정의되지 않음으로 알려 줍니다.

공식

행렬식은 한 행을 따라 라플라스(여인수) 전개로 정의할 수 있습니다: $$\det(A) = \sum_{j} a_{ij} \cdot (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}$$ 여기서 \(M_{ij}\)는 \(i\)행과 \(j\)열을 지워 얻은 소행렬식입니다. \(n = 2\)인 경우 \(\det = a_{11}a_{22} - a_{21}a_{12}\)입니다. 다만 이 계산기는 수치적 안정성과 속도를 위해 부분 피벗팅을 적용한 가우스 소거법을 사용합니다. 즉, A를 상삼각 형태로 변형하면서 행 교환에 따른 부호 변화를 추적하고, 대각선의 피벗 값을 모두 곱합니다 — $$\det(A) = \operatorname{sign} \cdot \prod_{k=1}^{\text{n}} U_{kk}$$

첫 번째 행을 따라 전개한 여인수(라플라스) 전개, +/- 부호가 교대로 나타나는 패턴.

풀이 예제

A = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,10]]일 때: $$\det = 1(5 \cdot 10 - 6 \cdot 8) - 2(4 \cdot 10 - 6 \cdot 7) + 3(4 \cdot 8 - 5 \cdot 7) = 1(2) - 2(-2) + 3(-3) = 2 + 4 - 9 = -3$$ 따라서 \(\det(A) = -3\)이고 \(\frac{1}{\det(A)} \approx -0.3333\)입니다.

가우스 소거 후 행렬식은 대각 성분들의 곱과 같다(행 교환 부호를 곱함).

자주 묻는 질문

행렬식이 0이면 무슨 의미인가요? 그 행렬은 특이행렬입니다. 행이나 열이 서로 선형 종속이라 역행렬이 존재하지 않으며, \(\frac{1}{\det(A)}\)은 정의되지 않습니다.

성분에 소수나 음수를 넣어도 되나요? 네, 모든 실수를 입력할 수 있습니다.

여인수 전개 대신 소거법을 쓰는 이유는 무엇인가요? 여인수 전개는 연산량이 \(O(n!)\)에 달하지만, 가우스 소거법은 \(O(n^3)\)이며 큰 행렬에서도 수치적으로 안정적이기 때문입니다.