페르마에서 영감을 받은 연속 거듭제곱 합 검증 계산기

계산 입력

Initial value of n (n ≥ 2)

n의 끝값

Initial value of a (a ≥ 1)

a의 끝값

결과

범위에서 찾은 해

3

counterexample (a, b) pairs for n = 2 to 5, a = 1 to 100

n	Solutions per n   (sum of n consecutive nth powers = b^n)
2	a=3, b=5 ; a=20, b=29
3	a=3, b=6
4	--
5	--

이 계산기는 무엇을 하나요

페르마의 마지막 정리에서 영감을 받은 정수론 취미용 탐색 도구입니다. 페르마의 정리는 정수 \(n \ge 3\)에 대해 \(X^n + Y^n = Z^n\)을 만족하는 양의 정수 \(X, Y, Z\)가 존재하지 않는다는 내용입니다. 이 도구는 그 좌변을 n개의 연속된 n제곱의 합으로 일반화하여 다음 명제를 검증합니다. 즉 "\(n \ge 4\)일 때, a에서 시작하는 n개의 연속된 n제곱의 합이 \(b^n\)과 같아지는 자연수 a, b는 존재하지 않는다"는 주장입니다. 지정한 범위 안의 각 지수 n에 대해 시작 밑 a를 모두 탐색하여, 발견된 (a, b) 쌍을 알려주고 해당 구간에 해가 없으면 "--"를 표시합니다.

사용 방법

테스트할 지수 n의 최솟값과 최댓값(\(n \ge 2\)), 그리고 시작 밑 a의 최솟값과 최댓값(\(a \ge 1\))을 입력하세요. 도구는 각 n을 차례로 반복하며, 각 a에 대해 \(S = a^n + (a+1)^n + \ldots + (a+n-1)^n\)을 계산하고 S의 정수 n제곱근을 구한 뒤 큰 수 연산(big-integer)으로 정확히 검증합니다. S가 매우 빠르게 커지므로 넓은 범위를 탐색하면 속도가 느려진다는 점에 유의하세요.

공식 설명

방정식은 다음과 같습니다.

$$\sum_{j=0}^{n-1}\left(a+j\right)^{n} = b^{n}, \qquad \begin{aligned} n &\in \left[\text{n Start},\, \text{n End}\right] \\ a &\in \left[\text{a Start},\, \text{a End}\right] \end{aligned}$$

부동소수점으로 인한 거짓 양성을 피하기 위해, 도구는 S를 정확한 큰 정수로 계산하고 이분법으로 후보 근 b를 구한 다음, \(b-1, b, b+1\)을 \(b^n = S\)라는 정확한 검사로 다시 확인합니다. 작은 n에서는 알려진 해가 존재합니다. 예를 들어 \(n = 2\)일 때 \(3^2 + 4^2 = 5^2\)과 \(20^2 + 21^2 = 29^2\)이 있고, \(n = 3\)일 때 \(3^3 + 4^3 + 5^3 = 6^3\)이 있습니다.

방정식: 연속하는 n개의 n제곱의 합이 \(b^n\)과 같다.

계산 예시

nStart = 3, nEnd = 3, aStart = 1, aEnd = 10으로 설정해 봅시다. \(a = 3\)일 때 $$S = 27 + 64 + 125 = 216$$이고, 216의 정수 세제곱근은 6이며 \(6^3 = 216\)입니다. 도구는 \(n = 3 \rarr a = 3, b = 6\)으로 기록합니다.

연속하는 n제곱의 후보 수열의 합이 정확히 \(b^n\)이 되는지 확인.

자주 묻는 질문

이 명제를 증명하나요? 아니요. 유한한 구간에서 반례를 찾을 뿐이며, 반례를 찾지 못했다고 해서 증명이 되는 것은 아닙니다.

왜 \(n = 2\)와 \(n = 3\)을 허용하나요? 이 경우에는 알려진 해가 있어서, 해가 없다는 주장은 \(n \ge 4\)만 대상으로 하지만 도구가 이를 직접 보여줄 수 있기 때문입니다.

왜 시간 초과가 발생할 수 있나요? 합은 대략 \(n \cdot (a + n)^n\) 정도로 커지므로, 범위가 크면 엄청나게 큰 수가 생깁니다. 범위는 적당하게 유지하세요.