Bu hesaplayıcı ne yapar?
Bu, Fermat'ın Son Teoremi'nden ilham alan, eğlenceli bir sayılar teorisi arama aracıdır. Fermat'ın teoremi, \(n \ge 3\) tam sayısı için \(X^n + Y^n = Z^n\) eşitliğini sağlayan hiçbir pozitif \(X, Y, Z\) tam sayısının bulunmadığını söyler. Bu araç ise eşitliğin sol tarafını ardışık n adet n. kuvvetin toplamı olacak şekilde genelleştirir ve şu önermeyi sınar: \(n \ge 4\) için, a'dan başlayan ardışık n adet n. kuvvetin toplamının \(b^n\)'e eşit olduğu hiçbir a, b doğal sayısı yoktur. Aralığınızdaki her n üssü için, belirlediğiniz her başlangıç tabanı a'yı tarar ve bulunan her (a, b) çiftini raporlar; o pencerede çözüm yoksa "--" yazar.
Nasıl kullanılır?
Test edilecek en küçük ve en büyük n üssünü (\(n \ge 2\)) ve test edilecek en küçük ve en büyük başlangıç tabanı a'yı (\(a \ge 1\)) girin. Araç her n değeri üzerinde döner; her a için \(S = a^n + (a+1)^n + \ldots + (a+n-1)^n\) toplamını hesaplar, S'in tam sayı n. kökünü bulur ve bunu büyük sayı (big-integer) aritmetiğiyle birebir doğrular. Geniş aralıkları taramanın yavaş olduğunu unutmayın; çünkü S son derece hızlı büyür.
Formülün açıklaması
Denklem, j = 0'dan n-1'e kadar $$\sum_{j=0}^{n-1}\left(a+j\right)^{n} = b^{n}$$ şeklindedir. Kayan noktalı sayılardan kaynaklı yanlış pozitiflerden kaçınmak için araç, S'i kesin bir büyük tam sayı olarak hesaplar, ikiye bölme (bisection) yöntemiyle aday bir b kökü türetir ve ardından \(b-1\), \(b\) ile \(b+1\) değerlerini \(b^n == S\) kesin kontrolüyle yeniden sınar. Küçük n değerleri için bilinen çözümler vardır: \(n = 2\) için \(3^2 + 4^2 = 5^2\) ve \(20^2 + 21^2 = 29^2\); \(n = 3\) için \(3^3 + 4^3 + 5^3 = 6^3\).
Örnek çözüm
nStart = 3, nEnd = 3, aStart = 1, aEnd = 10 değerlerini girin. a = 3 için: $$S = 27 + 64 + 125 = 216$$ olur ve 216'nın tam sayı küp kökü 6'dır; çünkü \(6^3 = 216\). Araç bunu \(n = 3 \rightarrow a = 3, b = 6\) olarak kaydeder.
Sık sorulan sorular
Bu, önermeyi kanıtlar mı? Hayır. Yalnızca sınırlı bir pencerede karşı örnek arar; hiçbir örnek bulunmaması bir kanıt oluşturmaz.
Neden n = 2 ve n = 3 değerlerine izin veriliyor? Bu durumların bilinen çözümleri vardır; dolayısıyla "çözüm yok" iddiası yalnızca \(n \ge 4\)'ü hedeflese de araç bu çözümleri sergileyebilir.
Neden zaman aşımına uğrayabilir? Toplam, kabaca \(n \cdot (a + n)^n\) gibi büyür; bu nedenle büyük aralıklar devasa sayılar üretir. Aralıkları makul tutun.
