Tam Kare Üç Terimli Nedir?
Tam kare üç terimli (trinom), bir iki terimlinin (binomun) karesi şeklinde yazılabilen ikinci dereceden bir ifadedir; örneğin \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) ya da \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\). Genel biçimdeki \(ax^2 + bx + c\) üç terimlisi için bu durum, ancak ve ancak diskriminantı sıfıra eşit olduğunda yani \(b^2 = 4ac\) koşulu sağlandığında gerçekleşir. Bu araç, girdiğiniz üç katsayıyı kullanarak ifadenin tam kare olup olmadığını anında söyler ve çarpanlarına ayrılmış halini verir.
Hesaplama Aracı Nasıl Kullanılır?
a katsayısını (x²'nin önündeki sayı), b katsayısını (x'in önündeki sayı) ve c sabit terimini girin. Araç \(b^2\) ve \(4ac\) değerlerini hesaplar, bunları karşılaştırır ve "Evet" ya da "Hayır" yanıtını verir. İfade tam kareyse, b'nin işaretine göre belirlenen \((\sqrt{a}\cdot x \pm \sqrt{c})^2\) çarpanlı biçimi de gösterilir.
Formülün Açıklaması
\((\sqrt{a}\cdot x + \sqrt{c})^2\) ifadesini açtığımızda \(a\cdot x^2 + 2\sqrt{ac}\cdot x + c\) elde ederiz. Ortadaki katsayının eşleşmesi için \(b = 2\sqrt{ac}\) olması gerekir; her iki tarafın karesini aldığımızda \(b^2 = 4ac\) sonucuna ulaşırız. Dolayısıyla $$\text{a}\,x^{2} + \text{b}\,x + \text{c} = \left(\sqrt{\text{a}}\,x \pm \sqrt{\text{c}}\right)^{2} \quad\text{iff}\quad \text{b}^{2} = 4\,\text{a}\,\text{c}$$ \(b^2 = 4ac\) koşulunu kontrol etmek, ikinci dereceden ifadenin çift (katlı) köke sahip olup olmadığını kontrol etmekle tamamen aynıdır ki bu da tam kare üç terimliyi tanımlayan temel özelliktir.
Çözümlü Örnek
\(x^2 + 6x + 9\) ifadesini ele alalım. Burada \(a = 1\), \(b = 6\), \(c = 9\)'dur. Buna göre \(b^2 = 36\) ve \(4ac = 4 \times 1 \times 9 = 36\) olur. \(36 = 36\) olduğundan ifade tam karedir. \(\sqrt{a} = 1\), \(\sqrt{c} = 3\) ve ortadaki terim pozitif olduğundan ifade \((x + 3)^2\) şeklinde çarpanlarına ayrılır. Kontrol edelim: \((x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9\). ✓
Sıkça Sorulan Sorular
a veya c negatifse ne olur? Reel sayılarda standart bir tam kare üç terimlinin geçerli olması için a ve c'nin negatif olmaması gerekir; böylece karekökler reel değer alır. \(b^2 = 4ac\) testi yine de diskriminantı işaret eder, ancak gösterilen binom çarpanlarına ayırma işlemi köklerin reel olduğunu varsayar.
b'nin işareti önemli mi? Yalnızca çarpanlı biçim için: negatif bir b \((\sqrt{a}\cdot x - \sqrt{c})^2\), pozitif bir b ise \((\sqrt{a}\cdot x + \sqrt{c})^2\) verir. Tam kare testinin kendisi \(b^2\) değerini kullandığından işaret, ifadenin tam kare sayılıp sayılmamasını etkilemez.
b² neden tam olarak 4ac'ye eşit olmalı? Çünkü tam karenin çift kökü vardır; diskriminantın bunun dışındaki herhangi bir değeri iki farklı kök (veya hiç kök olmadığı) anlamına gelir, dolayısıyla üç terimli tek bir kareli binoma indirgenemez.
