पूर्ण वर्ग त्रिपद (Perfect Square Trinomial) क्या है?
पूर्ण वर्ग त्रिपद एक ऐसा द्विघात व्यंजक होता है जिसे किसी द्विपद के वर्ग के रूप में लिखा जा सके, जैसे \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) या \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)। किसी सामान्य त्रिपद \(ax^2 + bx + c\) के लिए ऐसा ठीक तभी होता है जब उसका विविक्तकर (discriminant) शून्य हो — यानी जब \(b^2 = 4ac\) हो। यह कैलकुलेटर तीनों गुणांक लेकर तुरंत बता देता है कि त्रिपद पूर्ण वर्ग है या नहीं, और फिर उसका गुणनखंडित रूप भी दिखाता है।
कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
गुणांक a (x² के आगे की संख्या), b (x के आगे की संख्या) और c (अचर पद) दर्ज करें। टूल \(b^2\) और \(4ac\) की गणना करता है, दोनों की तुलना करता है, और "हाँ" या "नहीं" बताता है। यदि यह पूर्ण वर्ग है, तो गुणनखंडित रूप \((\sqrt{a}\cdot x \pm \sqrt{c})^2\) दिखाया जाता है, जिसमें चिह्न b के चिह्न के अनुसार होता है।
सूत्र की व्याख्या
\((\sqrt{a}\cdot x + \sqrt{c})^2\) का विस्तार करने पर मिलता है \(a\cdot x^2 + 2\sqrt{ac}\cdot x + c\)। बीच वाले गुणांक का मिलान करने के लिए ज़रूरी है कि \(b = 2\sqrt{ac}\), और दोनों ओर वर्ग करने पर मिलता है \(b^2 = 4ac\)। इसलिए \(b^2 = 4ac\) की जाँच करना ठीक उसी बात की जाँच है कि द्विघात के दोनों मूल समान (दोहरा मूल) हों — और यही पूर्ण वर्ग त्रिपद की मूल पहचान है।
$$\text{a}\,x^{2} + \text{b}\,x + \text{c} = \left(\sqrt{\text{a}}\,x \pm \sqrt{\text{c}}\right)^{2} \quad\text{iff}\quad \text{b}^{2} = 4\,\text{a}\,\text{c}$$
हल किया गया उदाहरण
मान लीजिए \(x^2 + 6x + 9\)। यहाँ \(a = 1\), \(b = 6\), \(c = 9\)। तब \(b^2 = 36\) और $$4ac = 4 \times 1 \times 9 = 36$$ चूँकि \(36 = 36\) है, यह पूर्ण वर्ग है। \(\sqrt{a} = 1\), \(\sqrt{c} = 3\) और बीच का पद धनात्मक होने के कारण इसका गुणनखंडन \((x + 3)^2\) होता है। जाँचें: $$(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9 \checkmark$$
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
यदि a या c ऋणात्मक हो तो? एक मानक वास्तविक पूर्ण वर्ग त्रिपद के लिए a और c का अऋणात्मक होना ज़रूरी है ताकि वर्गमूल वास्तविक रहें। \(b^2 = 4ac\) वाली जाँच फिर भी विविक्तकर को दर्शाती है, पर यहाँ दिखाया गया द्विपद गुणनखंडन वास्तविक मूलों को मानकर चलता है।
क्या b का चिह्न मायने रखता है? सिर्फ़ गुणनखंडित रूप के लिए: ऋणात्मक b से \((\sqrt{a}\cdot x - \sqrt{c})^2\) बनता है, और धनात्मक b से \((\sqrt{a}\cdot x + \sqrt{c})^2\)। पूर्ण-वर्ग जाँच स्वयं \(b^2\) का उपयोग करती है, इसलिए चिह्न इस बात को प्रभावित नहीं करता कि त्रिपद योग्य है या नहीं।
b² का ठीक 4ac के बराबर होना क्यों ज़रूरी है? क्योंकि पूर्ण वर्ग का एक दोहरा मूल होता है; विविक्तकर का कोई अन्य मान दो भिन्न मूल (या एक भी नहीं) दर्शाता है, इसलिए ऐसी स्थिति में त्रिपद किसी एक वर्गित द्विपद में सिमट नहीं सकता।
