यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल किसी भी वास्तविक संख्या x का वर्गमूल निकालता है। किसी धनात्मक संख्या के लिए यह मुख्य (धनात्मक) मूल और ऋणात्मक मूल दोनों देता है, क्योंकि इन दोनों का वर्ग करने पर x ही मिलता है। ऋणात्मक संख्या के लिए यह काल्पनिक (imaginary) परिणाम बताता है, और किसी भी इनपुट के लिए यह यह भी बता देता है कि x पूर्ण वर्ग है या नहीं।
इसका उपयोग कैसे करें
अपनी संख्या x = वाले बॉक्स में लिखें। यह धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य हो सकती है, और इसमें दशमलव भी हो सकते हैं। "गणना करें" दबाते ही आपको मुख्य मूल, ऋणात्मक मूल (या यदि x ऋणात्मक है तो काल्पनिक मूल), और हां/नहीं के रूप में पूर्ण वर्ग का परिणाम दिख जाएगा।
सूत्र को समझें
x का वर्गमूल \(r\) वह संख्या है जो \(r^2 = x\) को संतुष्ट करती है। जब \(x > 0\) हो तो दो वास्तविक हल होते हैं, \(+\sqrt{x}\) और \(-\sqrt{x}\), जिन्हें लिखा जाता है
$$\sqrt{x} = \pm\sqrt{x}$$
जब \(x = 0\) हो तो एकमात्र मूल \(0\) होता है। जब \(x < 0\) हो तो कोई वास्तविक मूल नहीं होता, इसलिए हम \(\sqrt{|x|}\) की गणना करते हैं और परिणाम
$$\sqrt{x} = \pm\sqrt{\left|x\right|}\,,\quad \text{imaginary if } x < 0:\; \sqrt{\left|x\right|}\,i$$
के रूप में देते हैं, जहां \(i\) काल्पनिक इकाई है (\(i^2 = -1\))।
कोई संख्या पूर्ण वर्ग तभी होती है जब वह एक अऋणात्मक पूर्णांक हो और उसका वर्गमूल भी पूर्णांक हो। फ्लोटिंग-पॉइंट त्रुटि से बचने के लिए हम मूल को पूर्णांकित (round) करके फिर से उसका वर्ग करते हैं: यदि \(\text{round}(\sqrt{x})^2\) का मान \(x\) के बराबर आता है, तो वह पूर्ण वर्ग है।
हल किया हुआ उदाहरण
\(x = 81\) के लिए: \(\sqrt{81} = 9\), इसलिए मूल हैं \(\pm 9\)। चूंकि \(9\) एक पूर्णांक है और \(9\times 9 = 81\), इसलिए \(81\) एक पूर्ण वर्ग है। \(x = 10\) के लिए: \(\sqrt{10} \approx 3.162278\), इसलिए मूल हैं \(\pm 3.162278\), और \(10\) पूर्ण वर्ग नहीं है। \(x = -9\) के लिए: परिणाम \(\pm 3i\) होगा।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
दो वर्गमूल क्यों होते हैं? क्योंकि वर्ग करने पर चिह्न (sign) हट जाता है: \((+r)^2\) और \((-r)^2\) दोनों का मान \(x\) ही होता है।
क्या 2.25 एक पूर्ण वर्ग है? इसका मूल \(1.5\) परिमेय (rational) है, लेकिन \(2.25\) कोई पूर्णांक नहीं है, इसलिए यह कैलकुलेटर "नहीं" बताता है।
ऋणात्मक संख्याओं का क्या? इनका कोई वास्तविक वर्गमूल नहीं होता; उत्तर काल्पनिक होता है, जो \(\pm\sqrt{|x|}\,i\) के रूप में दिखाया जाता है।
