这个计算器能做什么
本工具可以求出任意实数 \(x\) 的平方根。对于正数，它会同时给出正根（主根）和负根，因为这两个数平方后都等于 \(x\)。对于负数，它会给出虚数结果；无论输入什么数，它都会告诉你 \(x\) 是否为完全平方数。
使用方法
在 x = 输入框中填入你的数字。它可以是正数、负数或零，也可以带小数。点击计算，即可看到主根、负根（如果 \(x\) 为负数则显示虚数根），以及该数是否为完全平方数的「是 / 否」判定。
公式解析
\(x\) 的平方根 \(r\) 满足 \(r^2 = x\)。当 \(x > 0\) 时存在两个实数解，即 \(+\sqrt{x}\) 和 \(-\sqrt{x}\)，合写为 $$\sqrt{x} = \pm\sqrt{x}$$ 当 \(x = 0\) 时，唯一的根就是 0。当 \(x < 0\) 时不存在实数根，于是我们计算 \(\sqrt{\left|x\right|}\)，并以 $$\sqrt{x} = \pm\sqrt{\left|x\right|}\,,\quad \text{imaginary if } x < 0:\; \sqrt{\left|x\right|}\,i$$ 的形式给出结果，其中 \(i\) 为虚数单位（\(i^2 = -1\)）。
只有当一个数是非负整数，且它的平方根也是整数时，它才是完全平方数。为了避免浮点运算误差，我们会对求得的根四舍五入后再平方：如果 \(\text{round}(\sqrt{x})^2\) 恰好等于 \(x\)，那么它就是完全平方数。
实例演示
以 \(x = 81\) 为例：\(\sqrt{81} = 9\)，所以两个根为 \(\pm 9\)。由于 9 是整数且 \(9 \times 9 = 81\)，因此 81 是完全平方数。再看 \(x = 10\)：\(\sqrt{10} \approx 3.162278\)，所以两个根为 \(\pm 3.162278\)，而 10 不是完全平方数。对于 \(x = -9\)：结果为 \(\pm 3i\)。
常见问题
为什么会有两个平方根？ 因为平方运算会消去符号：\((+r)^2\) 和 \((-r)^2\) 都等于 \(x\)。
2.25 是完全平方数吗？ 它的平方根 1.5 虽然是有理数，但 2.25 本身不是整数，所以本计算器判定为「否」。
负数怎么处理？ 负数没有实数平方根，结果为虚数，以 \(\pm\sqrt{\left|x\right|}\,i\) 的形式显示。
