À quoi sert ce calculateur
Cet outil détermine la racine carrée de n'importe quel nombre réel x. Pour un nombre positif, il renvoie la racine principale (positive) et la racine négative, puisque les deux, élevées au carré, donnent x. Pour un nombre négatif, il fournit le résultat imaginaire et, quelle que soit la valeur saisie, il vous indique si x est un carré parfait.
Comment l'utiliser
Saisissez votre nombre dans le champ x =. Il peut être positif, négatif ou nul, et comporter des décimales. Cliquez sur « Calculer » pour afficher la racine principale, la racine négative (ou la racine imaginaire si x est négatif), ainsi qu'un verdict Oui/Non sur le carré parfait.
La formule expliquée
La racine carrée \(r\) de \(x\) vérifie l'égalité \(r^2 = x\). Lorsque \(x > 0\), il existe deux solutions réelles, \(+\sqrt{x}\) et \(-\sqrt{x}\), que l'on note :
$$\sqrt{x} = \pm\sqrt{x}$$Lorsque \(x = 0\), l'unique racine est \(0\). Lorsque \(x < 0\), aucune racine réelle n'existe : on calcule alors \(\sqrt{\left|x\right|}\) et l'on indique :
$$\sqrt{x} = \pm\sqrt{\left|x\right|}\,,\quad \text{imaginaire si } x < 0:\; \sqrt{\left|x\right|}\,i$$où \(i\) désigne l'unité imaginaire (\(i^2 = -1\)).
Un nombre est un carré parfait uniquement s'il s'agit d'un entier positif ou nul dont la racine carrée est elle aussi un entier. Pour éviter les erreurs d'arrondi en virgule flottante, on arrondit la racine puis on l'élève au carré : si \(\operatorname{arrondi}(\sqrt{x})^2\) est égal à \(x\), c'est un carré parfait.
Exemple détaillé
Pour \(x = 81\) : \(\sqrt{81} = 9\), donc les racines sont \(\pm 9\). Comme \(9\) est un entier et que \(9 \times 9 = 81\), \(81\) est un carré parfait. Pour \(x = 10\) : \(\sqrt{10} \approx 3{,}162278\), les racines sont donc \(\pm 3{,}162278\), et \(10\) n'est pas un carré parfait. Pour \(x = -9\) : le résultat est \(\pm 3i\).
FAQ
Pourquoi y a-t-il deux racines carrées ? Parce que l'élévation au carré efface le signe : \((+r)^2\) et \((-r)^2\) donnent toutes deux \(x\).
2,25 est-il un carré parfait ? Sa racine \(1{,}5\) est un nombre rationnel, mais \(2{,}25\) n'est pas un entier ; ce calculateur répond donc Non.
Et pour les nombres négatifs ? Ils n'ont pas de racine carrée réelle ; la réponse est imaginaire, exprimée sous la forme \(\pm\sqrt{\left|x\right|}\,i\).
