이 계산기로 할 수 있는 일
이 도구는 임의의 실수 x에 대한 제곱근을 구합니다. x가 양수일 때는 제곱하면 모두 x가 되는 두 값, 즉 양의 제곱근(주근)과 음의 제곱근을 함께 보여 줍니다. x가 음수일 때는 허수 형태의 결과를 알려 주고, 어떤 값을 넣든 그 수가 완전제곱수인지 아닌지까지 판정해 줍니다.
사용 방법
x = 칸에 숫자를 입력하세요. 양수, 음수, 0은 물론 소수점이 있는 값도 가능합니다. 계산 버튼을 누르면 양의 제곱근(주근), 음의 제곱근(x가 음수일 경우에는 허수근), 그리고 완전제곱수 여부에 대한 예/아니요 판정을 확인할 수 있습니다.
공식 풀이
x의 제곱근 \(r\)은 \(r^2 = x\)를 만족합니다. \(x > 0\)이면 \(+\sqrt{x}\)와 \(-\sqrt{x}\), 즉 \(\pm\sqrt{x}\)라는 두 개의 실수 해가 존재합니다.
$$\sqrt{x} = \pm\sqrt{x}$$\(x = 0\)이면 제곱근은 0 하나뿐입니다. \(x < 0\)이면 실수 제곱근이 존재하지 않으므로 \(\sqrt{\left|x\right|}\)를 구한 뒤 \(\pm\sqrt{\left|x\right|}\,i\)로 나타냅니다. 여기서 \(i\)는 허수 단위(\(i^2 = -1\))입니다.
$$\sqrt{x} = \pm\sqrt{\left|x\right|}\,,\quad \text{imaginary if } x < 0:\; \sqrt{\left|x\right|}\,i$$어떤 수가 완전제곱수가 되려면 0 이상의 정수이면서 그 제곱근도 정수여야 합니다. 부동소수점 오차를 피하기 위해 제곱근을 반올림한 뒤 다시 제곱해서 확인합니다. 즉 \(\operatorname{round}(\sqrt{x})^2\)이 \(x\)와 같으면 완전제곱수입니다.
예제로 살펴보기
\(x = 81\)일 때: \(\sqrt{81} = 9\)이므로 제곱근은 \(\pm 9\)입니다. 9는 정수이고 \(9 \times 9 = 81\)이므로 81은 완전제곱수입니다. \(x = 10\)일 때: \(\sqrt{10} \approx 3.162278\)이므로 제곱근은 \(\pm 3.162278\)이고, 10은 완전제곱수가 아닙니다. \(x = -9\)일 때: 결과는 \(\pm 3i\)입니다.
자주 묻는 질문
왜 제곱근이 두 개인가요? 제곱을 하면 부호가 사라지기 때문입니다. \((+r)^2\)과 \((-r)^2\) 모두 \(x\)와 같습니다.
2.25는 완전제곱수인가요? 제곱근 1.5는 유리수이지만 2.25 자체가 정수가 아니므로, 이 계산기는 '아니요'로 판정합니다.
음수는 어떻게 되나요? 음수는 실수 제곱근이 없으며, 답은 허수로 \(\pm\sqrt{\left|x\right|}\,i\) 형태로 표시됩니다.
