Калькулятор квадратного корня и полного квадрата

Введите расчет

x = Введите любое действительное число (положительное, отрицательное или ноль).

Результатов

0

Principal (positive) square root of 25

5

± 5 (both real roots)

Главный (положительный) квадратный корень	5
Отрицательный квадратный корень	-5
Является ли полным квадратом?	Да

Что умеет этот калькулятор

Инструмент находит квадратный корень любого действительного числа x. Для положительного числа он показывает главный (положительный) корень и отрицательный корень, ведь при возведении в квадрат оба дают x. Для отрицательного числа выводится мнимый результат, а для любого введённого значения сообщается, является ли x полным квадратом.

Как пользоваться

Введите своё число в поле x =. Оно может быть положительным, отрицательным или равным нулю, а также содержать десятичную дробь. Нажмите «Вычислить», чтобы увидеть главный корень, отрицательный корень (или мнимый корень, если x отрицательное) и вердикт «Да/Нет» о том, является ли число полным квадратом.

Разбор формулы

Квадратный корень \(r\) числа x удовлетворяет равенству \(r^2 = x\). Когда \(x > 0\), существуют два действительных решения — \(+\sqrt{x}\) и \(-\sqrt{x}\), которые записываются как $$\sqrt{x} = \pm\sqrt{x}$$ Когда \(x = 0\), единственный корень равен 0. Когда \(x < 0\), действительного корня не существует, поэтому мы вычисляем \(\sqrt{\left|x\right|}\) и записываем результат как $$\sqrt{x} = \pm\sqrt{\left|x\right|}\,,\quad \text{imaginary if } x < 0:\; \sqrt{\left|x\right|}\,i$$ где \(i\) — мнимая единица (\(i^2 = -1\)).

Число является полным квадратом только тогда, когда это неотрицательное целое число, квадратный корень которого тоже целый. Чтобы избежать погрешности при работе с дробными числами, мы округляем корень и возводим его обратно в квадрат: если \(\operatorname{round}(\sqrt{x})^2\) совпадает с x, число является полным квадратом.

Реклама

Полный квадрат можно выложить в полную квадратную сетку из единичных клеток; другие числа — нельзя.

У каждого положительного числа есть два действительных квадратных корня: главный корень \(r\) и противоположный ему \(-r\).

Пример с разбором

Для \(x = 81\): \(\sqrt{81} = 9\), значит, корни равны \(\pm 9\). Поскольку 9 — целое число и \(9 \times 9 = 81\), число 81 является полным квадратом. Для \(x = 10\): \(\sqrt{10} \approx 3{,}162278\), поэтому корни равны \(\pm 3{,}162278\), а 10 не является полным квадратом. Для \(x = -9\): результат равен \(\pm 3i\).

Частые вопросы

Почему квадратных корней два? Потому что возведение в квадрат «стирает» знак: и \((+r)^2\), и \((-r)^2\) равны x.

Является ли 2,25 полным квадратом? Его корень 1,5 — рациональное число, но 2,25 не является целым, поэтому калькулятор выдаёт «Нет».

А как быть с отрицательными числами? У них нет действительного квадратного корня; ответ получается мнимым и записывается как \(\pm\sqrt{\left|x\right|}\,i\).