Что такое калькулятор корня n-й степени?
Этот инструмент вычисляет корень n-й степени (его также называют радикалом) действительного числа. С точки зрения математики корень n-й степени из x записывается как радикал степени n над x и равен числу x, возведённому в степень 1/n: $$\sqrt[\text{n}]{\text{x}} = \text{x}^{\frac{1}{\text{n}}}$$ Укажите показатель корня n и подкоренное число x — и калькулятор выдаст действительное значение корня. С его помощью легко найти квадратный корень (\(n = 2\)), кубический корень (\(n = 3\)), корни четвёртой, пятой и любой другой степени, включая отрицательные и дробные показатели.
Как пользоваться калькулятором
Введите показатель корня в поле «n =», а число под корнем — в поле «x =». Оба поля принимают как положительные, так и отрицательные значения. Нажмите кнопку расчёта, чтобы получить результат. Если показатель — чётное целое число, а подкоренное число положительное, ответ выводится со знаком «плюс-минус»: ведь и положительное, и отрицательное основание при возведении в чётную степень дают одно и то же число. Для нечётного показателя возвращается единственное значение с соответствующим знаком.
Разбор формулы
В основе вычислений лежит выражение \(\text{x}^{\frac{1}{\text{n}}}\). Поскольку большинство программ при возведении отрицательного основания в дробную степень возвращают NaN (не число), этот калькулятор сначала вычисляет модуль как \(|\text{x}|^{\frac{1}{\text{n}}}\), а затем заново присваивает результату нужный знак. Если \(x\) отрицательно, а \(n\) — нечётное целое число, действительный отрицательный корень существует, и мы берём модуль со знаком минус. Если же \(x\) отрицательно, а \(n\) — чётное (или нецелое), действительного корня не существует: ответ будет мнимым или комплексным.
Пример вычисления
Найдём корень 4-й степени из 81: вычисляем $$81^{\frac{1}{4}} = 3$$ Так как 4 — чётное целое число, а 81 положительно, подходят оба значения, \(+3\) и \(-3\), поэтому ответ равен \(\pm 3\). Теперь найдём кубический корень из \(-27\): модуль равен $$27^{\frac{1}{3}} = 3,$$ а поскольку показатель 3 нечётный, а подкоренное число отрицательное, итоговый результат равен \(-3\).
Частые вопросы
Почему корень чётной степени из отрицательного числа здесь не имеет ответа? Потому что ни одно действительное число при возведении в чётную степень не даёт отрицательного результата. Решение оказывается мнимым, а значит, выходит за рамки калькулятора, работающего с действительными числами.
Может ли показатель быть отрицательным? Да. Отрицательный показатель даёт корень «обратного» вида: например, \(\text{x}^{\frac{1}{-2}} = \frac{1}{\sqrt{\text{x}}}\). Главное — не использовать \(x = 0\) при отрицательном показателе.
А если показатель равен нулю? Тогда выражение не определено, ведь \(\frac{1}{\text{n}}\) приводит к делению на ноль.
