Калькулятор разности квадратов

Введите расчет

Введите выражение: Введите двучлен, например 4x^2 - 36y^4 (используйте ^ для степеней).

Результатов

Ответ

4(x + 3y^2)(x - 3y^2)

Решение

Factor out the GCF 4: 4(x^2 - 9y^4)
Identify a = sqrt(x^2) = x, b = sqrt(9y^4) = 3y^2
Apply a^2 - b^2 = (a + b)(a - b): (x + 3y^2)(x - 3y^2)
Final answer: 4(x + 3y^2)(x - 3y^2)

Что такое разность квадратов?

Разность квадратов — это любое выражение вида \(a^2 - b^2\), то есть один полный квадрат, из которого вычитается другой. Это одна из самых полезных формул в алгебре, ведь она всегда раскладывается на множители аккуратно — в произведение суммы на разность: $$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$$ Калькулятор берёт введённый вами двучлен, выносит наибольший общий делитель (НОД), проверяет, что оба оставшихся слагаемых являются полными квадратами, и выдаёт полностью разложенный ответ с показом каждого шага.

Как пользоваться калькулятором

Введите выражение из двух слагаемых в поле, используя символ «крышечку» ^ для степеней, например 4x^2 - 36y^4. Слагаемые должны соединяться знаком «плюс» или «минус». Нажмите «Вычислить», чтобы получить разложение на множители и развёрнутое решение. Инструмент сразу обрабатывает разность двух положительных квадратов, переставляет форму с минусом впереди, например -4y^2 + 36, в 36 - 4y^2, а также применяет формулу повторно, если полученный множитель (скажем, \(x^2 - 4\)) сам оказывается разностью квадратов.

Разбор формулы

Чтобы извлечь корень из слагаемого — полного квадрата, возьмите целый квадратный корень из коэффициента и разделите каждый показатель степени переменной пополам: \(\sqrt{9y^4} = 3y^2\). Назовём первый корень a, а второй b — тогда формула даёт \((a + b)(a - b)\). Коэффициент является полным квадратом только в том случае, если квадрат его точного целого корня снова даёт исходное число, а степень \(v^n\) — полным квадратом лишь при чётном \(n\).

Реклама

Тождество \(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\), показанное через площади: оставшаяся область образует прямоугольник.

Пример с решением

Разложим \(4x^2 - 36y^4\). НОД чисел 4 и 36 равен 4, и после его вынесения остаётся \(4(x^2 - 9y^4)\). Здесь \(a = \sqrt{x^2} = x\) и \(b = \sqrt{9y^4} = 3y^2\). Применяя формулу: $$x^2 - 9y^4 = (x + 3y^2)(x - 3y^2)$$ Возвращая вынесенный НОД, получаем \(4(x + 3y^2)(x - 3y^2)\).

Разложение разности квадратов на произведение суммы и разности \(a\) и \(b\).

Частые вопросы

Можно ли разложить сумму квадратов? Нет. Выражение \(a^2 + b^2\) не раскладывается на множители в действительных числах, поэтому калькулятор сообщает, что это не разность квадратов.

Что делать, если коэффициент не является полным квадратом? После вынесения НОД оба внутренних коэффициента должны быть полными квадратами (например, 1, 4, 9, 16). Если хотя бы один из них таковым не является, разложить двучлен по этой формуле нельзя.

Зачем сначала выносить НОД? Вынесение общего множителя уменьшает внутренние слагаемые, и скрытые полные квадраты (например, \(x^2 - 4\) внутри \(3x^2 - 12\)) становятся заметными.