حاسبة الفرق بين مربعين

أدخل الحساب

أدخل المعادلة: اكتب مقدارًا ثنائيًا مثل 4x^2 - 36y^4 (استخدم ^ للأسس).

نتائج

الإجابة

4(x + 3y^2)(x - 3y^2)

الحل

Factor out the GCF 4: 4(x^2 - 9y^4)
Identify a = sqrt(x^2) = x, b = sqrt(9y^4) = 3y^2
Apply a^2 - b^2 = (a + b)(a - b): (x + 3y^2)(x - 3y^2)
Final answer: 4(x + 3y^2)(x - 3y^2)

ما هو الفرق بين مربعين؟

الفرق بين مربعين هو أي مقدار يأخذ الصيغة \(a^2 - b^2\)، أي مربع كامل مطروح منه مربع كامل آخر. ويُعدّ من أكثر الأنماط فائدةً في الجبر لأنه يتحلّل دائمًا بشكل أنيق إلى حاصل ضرب مجموع في فرق: $$a^2 - b^2 = \left(a + b\right)\left(a - b\right)$$ تأخذ هذه الحاسبة المقدار الثنائي الذي تُدخله، وتستخرج العامل المشترك الأكبر (GCF)، وتتحقق من أن الحدّين المتبقيين مربعان كاملان، ثم تُعيد الإجابة محلَّلة بالكامل مع عرض كل خطوة.

طريقة الاستخدام

اكتب مقدارًا من حدّين في الخانة، مستخدمًا الرمز ^ للأسس، مثل 4x^2 - 36y^4. يجب أن يربط بين الحدّين علامة جمع أو طرح. اضغط على «احسب» للحصول على الصورة المحلَّلة مع حلٍّ مكتوب. تتعامل الأداة مباشرةً مع مربع موجب مطروحٌ منه مربع موجب، وتُعيد ترتيب الصيغة التي تبدأ بحدٍّ سالب مثل -4y^2 + 36 إلى 36 - 4y^2، وتُكرّر العملية تلقائيًا عندما يكون أحد العوامل الناتجة (مثل \(x^2 - 4\)) فرقًا بين مربعين بدوره.

شرح القاعدة

لإيجاد الجذر التربيعي لحدٍّ مربع كامل، خذ الجذر التربيعي الصحيح للمعامل واقسم كل أُس متغيّر على اثنين: \(\sqrt{9y^4} = 3y^2\). سمِّ الجذر الأول a والثاني b؛ عندئذٍ تعطيك المتطابقة \(\left(a + b\right)\left(a - b\right)\). ويكون المعامل مربعًا كاملًا فقط إذا أعاد جذره الصحيح المضروب في نفسه القيمة الأصلية، وتكون القوة \(v^n\) مربعًا كاملًا فقط حين يكون \(n\) عددًا زوجيًا.

اعلان

المتطابقة \(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\) موضّحة بالمساحات: المنطقة المتبقية تشكّل مستطيلًا.

مثال محلول

لِنحلّل \(4x^2 - 36y^4\). العامل المشترك الأكبر بين 4 و36 هو 4، فيتبقى \(4(x^2 - 9y^4)\). هنا \(a = \sqrt{x^2} = x\) و \(b = \sqrt{9y^4} = 3y^2\). وبتطبيق المتطابقة: $$x^2 - 9y^4 = \left(x + 3y^2\right)\left(x - 3y^2\right)$$ وبإعادة العامل المشترك الأكبر نحصل على \(4(x + 3y^2)(x - 3y^2)\).

تحليل فرق مربعين إلى حاصل ضرب مجموع \(a\) و \(b\) في فرقهما.

الأسئلة الشائعة

هل يمكن تحليل مجموع مربعين؟ لا. فالمقدار \(a^2 + b^2\) ليس له تحليل في مجموعة الأعداد الحقيقية، لذا تُبلغك الحاسبة بأنه ليس فرقًا بين مربعين.

ماذا لو لم يكن المعامل مربعًا كاملًا؟ بعد استخراج العامل المشترك الأكبر، يجب أن يكون المعاملان الداخليان مربعين كاملين (مثل 1 و4 و9 و16). فإن لم يكن أحدهما كذلك، تعذّر تحليل المقدار الثنائي وفق هذا النمط.

لماذا نستخرج العامل المشترك الأكبر أولًا؟ لأن إزالة العامل المشترك تُصغّر الحدود الداخلية فتظهر المربعات الكاملة المخفية (مثل \(x^2 - 4\) داخل \(3x^2 - 12\)).