Calculadora de diferencia de cuadrados

Ingresar cálculo

Introduce una ecuación: Escribe un binomio como 4x^2 - 36y^4 (usa ^ para los exponentes).

Resultados

Resultado

4(x + 3y^2)(x - 3y^2)

Solución

Factor out the GCF 4: 4(x^2 - 9y^4)
Identify a = sqrt(x^2) = x, b = sqrt(9y^4) = 3y^2
Apply a^2 - b^2 = (a + b)(a - b): (x + 3y^2)(x - 3y^2)
Final answer: 4(x + 3y^2)(x - 3y^2)

¿Qué es una diferencia de cuadrados?

Una diferencia de cuadrados es cualquier expresión de la forma \(a^2 - b^2\): un cuadrado perfecto restado de otro. Es uno de los patrones más útiles del álgebra, porque siempre se factoriza limpiamente como el producto de una suma por una diferencia: $$a^2 - b^2 = \left(a + b\right)\left(a - b\right)$$ Esta calculadora toma el binomio que escribas, extrae el máximo común divisor (MCD), comprueba que ambos términos restantes sean cuadrados perfectos y devuelve la factorización completa mostrando cada paso.

Cómo usarla

Escribe una expresión de dos términos en la casilla, usando el acento circunflejo ^ para los exponentes; por ejemplo, 4x^2 - 36y^4. Los dos términos deben ir unidos por un signo más o menos. Pulsa calcular para obtener la forma factorizada junto con una solución detallada. La herramienta resuelve directamente un cuadrado positivo menos otro cuadrado positivo, reordena una forma con término negativo al inicio como -4y^2 + 36 convirtiéndola en 36 - 4y^2, y aplica el proceso de nuevo cuando un factor resultante (como \(x^2 - 4\)) es a su vez una diferencia de cuadrados.

La fórmula explicada

Para sacar la raíz cuadrada de un término que es cuadrado perfecto, calcula la raíz cuadrada entera del coeficiente y divide entre dos cada exponente de las variables: $$\sqrt{9y^4} = 3y^2$$ Llama a a la primera raíz y b a la segunda; la identidad nos da entonces \(\left(a + b\right)\left(a - b\right)\). Un coeficiente es cuadrado perfecto solo si el cuadrado de su raíz entera exacta lo devuelve, y una potencia \(v^n\) es cuadrado perfecto únicamente cuando \(n\) es par.

Publicidad

La identidad a² − b² = (a+b)(a−b) mostrada con áreas: la región restante forma un rectángulo.

Ejemplo resuelto

Factoricemos \(4x^2 - 36y^4\). El MCD de 4 y 36 es 4, lo que deja \(4\left(x^2 - 9y^4\right)\). Aquí \(a = \sqrt{x^2} = x\) y \(b = \sqrt{9y^4} = 3y^2\). Al aplicar la identidad: $$x^2 - 9y^4 = \left(x + 3y^2\right)\left(x - 3y^2\right)$$ Al volver a colocar el MCD obtenemos \(4\left(x + 3y^2\right)\left(x - 3y^2\right)\).

Factorización de una diferencia de cuadrados en la suma y la diferencia de a y b.

Preguntas frecuentes

¿Se puede factorizar una suma de cuadrados? No. \(a^2 + b^2\) no tiene factorización en los números reales, así que la calculadora indica que no se trata de una diferencia de cuadrados.

¿Qué pasa si un coeficiente no es cuadrado perfecto? Una vez extraído el MCD, ambos coeficientes interiores deben ser cuadrados perfectos (como 1, 4, 9, 16). Si alguno no lo es, el binomio no puede factorizarse con este patrón.

¿Por qué se extrae primero el MCD? Quitar el factor común reduce los términos interiores, de modo que los cuadrados perfectos ocultos (como \(x^2 - 4\) dentro de \(3x^2 - 12\)) salen a la luz.