平方差計算機

輸入計算

輸入算式： 輸入二項式，例如 4x^2 - 36y^4（用 ^ 表示次方）。

結果

答案

4(x + 3y^2)(x - 3y^2)

解題過程

Factor out the GCF 4: 4(x^2 - 9y^4)
Identify a = sqrt(x^2) = x, b = sqrt(9y^4) = 3y^2
Apply a^2 - b^2 = (a + b)(a - b): (x + 3y^2)(x - 3y^2)
Final answer: 4(x + 3y^2)(x - 3y^2)

什麼是平方差？

平方差是指形如 \(a^2 - b^2\) 的算式，也就是一個完全平方減去另一個完全平方。它是代數中最實用的恆等式之一，因為它永遠能漂亮地分解成「和」乘以「差」：$$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$$這個計算機會接收你輸入的二項式，先提取最大公因數（GCF），確認剩下的兩項都是完全平方，再回傳完整的因式分解結果，並逐步顯示每一個運算過程。

如何使用

在輸入框中鍵入一個兩項的算式，用插入符號 ^ 表示次方，例如 4x^2 - 36y^4。兩項之間必須以加號或減號連接。按下計算後，即可得到因式分解的結果與完整文字解說。本工具可直接處理「正完全平方減正完全平方」的情形；遇到負項在前的形式（如 -4y^2 + 36）會自動整理成 36 - 4y^2；當分解後的某個因式（例如 \(x^2 - 4\)）本身又是平方差時，也會繼續遞迴分解。

公式說明

要對一個完全平方項開根號，做法是：取其係數的整數平方根，並把每個變數的次方除以 2，例如 \(\sqrt{9y^4} = 3y^2\)。把第一項的根稱為 a、第二項的根稱為 b，套用恆等式即得 \((a + b)(a - b)\)。一個係數是完全平方的條件，是它的整數平方根平方後能還原回原數；而次方 \(v^n\) 是完全平方的條件，則是 \(n\) 為偶數。

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用面積表示恆等式 \(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\)：剩餘區域構成一個矩形。

範例演練

分解 \(4x^2 - 36y^4\)。4 與 36 的最大公因數是 4，提取後剩下 \(4(x^2 - 9y^4)\)。此時 \(a = \sqrt{x^2} = x\)，\(b = \sqrt{9y^4} = 3y^2\)。套用恆等式：$$x^2 - 9y^4 = (x + 3y^2)(x - 3y^2)$$再把最大公因數乘回去，最終結果為 \(4(x + 3y^2)(x - 3y^2)\)。

將平方差分解為 a 與 b 的和與差的乘積。

常見問題

平方和可以因式分解嗎？不行。\(a^2 + b^2\) 在實數範圍內無法分解，因此計算機會回報它不是平方差。

如果係數不是完全平方怎麼辦？提取最大公因數之後，內部兩項的係數都必須是完全平方（例如 1、4、9、16）。只要其中一個不是，這個二項式就無法用平方差公式分解。

為什麼要先提取最大公因數？把共同因數先抽出來會縮小內部各項，讓原本藏起來的完全平方現形，例如 \(3x^2 - 12\) 中其實隱藏著 \(x^2 - 4\)。