वर्गों का अंतर (Difference of Two Squares) कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

समीकरण दर्ज करें: 4x^2 - 36y^4 जैसा द्विपद टाइप करें (घातांक के लिए ^ का प्रयोग करें)।

परिणाम

उत्तर

4(x + 3y^2)(x - 3y^2)

हल

Factor out the GCF 4: 4(x^2 - 9y^4)
Identify a = sqrt(x^2) = x, b = sqrt(9y^4) = 3y^2
Apply a^2 - b^2 = (a + b)(a - b): (x + 3y^2)(x - 3y^2)
Final answer: 4(x + 3y^2)(x - 3y^2)

वर्गों का अंतर क्या है?

वर्गों का अंतर a² − b² रूप वाला कोई भी व्यंजक है — यानी एक पूर्ण वर्ग में से दूसरे पूर्ण वर्ग को घटाया गया हो। बीजगणित में यह सबसे उपयोगी पैटर्न में से एक है, क्योंकि इसका गुणनखंडन हमेशा साफ़-सुथरे ढंग से एक योग और एक अंतर के गुणनफल में हो जाता है: $$\text{Expression} = a^2 - b^2 = \left(a + b\right)\left(a - b\right)$$ यह कैलकुलेटर आपके द्वारा टाइप किया गया द्विपद लेता है, महत्तम समापवर्तक (GCF) बाहर निकालता है, जाँचता है कि बचे हुए दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं या नहीं, और हर चरण दिखाते हुए पूरी तरह गुणनखंडित उत्तर देता है।

इसका उपयोग कैसे करें

बॉक्स में दो पदों वाला व्यंजक टाइप करें और घातांक के लिए कैरट ^ का प्रयोग करें, उदाहरण के लिए 4x^2 - 36y^4। दोनों पद धन (+) या ऋण (−) चिह्न से जुड़े होने चाहिए। गुणनखंडित रूप और लिखित हल पाने के लिए calculate दबाएँ। यह टूल एक धनात्मक वर्ग में से दूसरे धनात्मक वर्ग को घटाने को सीधे संभालता है, -4y^2 + 36 जैसे ऋणात्मक-अग्रणी रूप को 36 - 4y^2 में पुनर्व्यवस्थित कर देता है, और जब कोई परिणामी गुणनखंड (जैसे \(x^2 - 4\)) स्वयं वर्गों का अंतर हो, तो दोबारा वही प्रक्रिया अपनाता है।

सूत्र की व्याख्या

किसी पूर्ण-वर्ग पद का वर्गमूल निकालने के लिए, गुणांक का पूर्णांक वर्गमूल लें और हर चर के घातांक को आधा कर दें: \(\sqrt{9y^4} = 3y^2\)। पहले मूल को a और दूसरे को b कहें; तब सर्वसमिका हमें \(\left(a + b\right)\left(a - b\right)\) देती है। कोई गुणांक तभी पूर्ण वर्ग होता है जब उसका सटीक पूर्णांक मूल वर्ग करने पर वही गुणांक वापस दे, और कोई घात \(v^n\) तभी पूर्ण वर्ग होती है जब \(n\) सम हो।

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सर्वसमिका \(a^2 - b^2 = \left(a+b\right)\left(a-b\right)\) क्षेत्रफलों से दर्शाई गई: बचा हुआ भाग एक आयत बनाता है।

हल किया गया उदाहरण

\(4x^2 - 36y^4\) का गुणनखंडन करें। 4 और 36 का GCF 4 है, जिससे बचता है \(4\left(x^2 - 9y^4\right)\)। यहाँ \(a = \sqrt{x^2} = x\) और \(b = \sqrt{9y^4} = 3y^2\)। सर्वसमिका लगाने पर: $$x^2 - 9y^4 = \left(x + 3y^2\right)\left(x - 3y^2\right)$$ GCF को फिर से जोड़ने पर मिलता है \(4\left(x + 3y^2\right)\left(x - 3y^2\right)\)।

दो वर्गों के अंतर को a और b के योग तथा अंतर के रूप में गुणनखंडित करना।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

क्या वर्गों के योग का गुणनखंडन किया जा सकता है? नहीं। \(a^2 + b^2\) का कोई वास्तविक गुणनखंडन नहीं होता, इसलिए कैलकुलेटर बताता है कि यह वर्गों का अंतर नहीं है।

अगर कोई गुणांक पूर्ण वर्ग न हो तो? GCF हटाने के बाद, अंदर के दोनों गुणांक पूर्ण वर्ग (जैसे 1, 4, 9, 16) होने चाहिए। यदि कोई एक नहीं है, तो इस पैटर्न से उस द्विपद का गुणनखंडन नहीं किया जा सकता।

पहले GCF क्यों निकालें? उभयनिष्ठ गुणनखंड हटाने से अंदर के पद छोटे हो जाते हैं, जिससे छिपे हुए पूर्ण वर्ग (जैसे \(3x^2 - 12\) के भीतर \(x^2 - 4\)) सामने आ जाते हैं।