두 제곱의 차 계산기

결과

정답

4(x + 3y^2)(x - 3y^2)

풀이 과정

Factor out the GCF 4: 4(x^2 - 9y^4)
Identify a = sqrt(x^2) = x, b = sqrt(9y^4) = 3y^2
Apply a^2 - b^2 = (a + b)(a - b): (x + 3y^2)(x - 3y^2)
Final answer: 4(x + 3y^2)(x - 3y^2)

두 제곱의 차란?

두 제곱의 차란 a² − b² 꼴, 즉 어떤 완전제곱식에서 다른 완전제곱식을 뺀 형태를 말합니다. 이 형태는 언제나 합과 차의 곱으로 깔끔하게 인수분해되기 때문에 대수에서 가장 유용한 공식 중 하나로 꼽힙니다: $$\text{Expression} = a^2 - b^2 = \left(a + b\right)\left(a - b\right)$$ 이 계산기는 입력한 이항식에서 최대공약수(GCF)를 먼저 묶어내고, 남은 두 항이 모두 완전제곱인지 확인한 다음, 풀이 과정과 함께 완전히 인수분해된 결과를 보여줍니다.

사용 방법

지수는 캐럿 기호 ^를 사용해 입력하며, 예를 들어 4x^2 - 36y^4처럼 두 항으로 이루어진 식을 입력창에 적습니다. 두 항은 반드시 더하기 또는 빼기 부호로 연결되어야 합니다. 계산 버튼을 누르면 인수분해된 형태와 풀이 과정이 표시됩니다. 이 도구는 양의 제곱에서 양의 제곱을 빼는 형태를 바로 처리하고, -4y^2 + 36처럼 앞 항이 음수인 식은 36 - 4y^2로 정리하며, $x^2 - 4$처럼 인수분해 결과가 다시 두 제곱의 차인 경우에는 재귀적으로 한 번 더 인수분해합니다.

공식 풀이

완전제곱 항의 제곱근을 구하려면 계수의 정수 제곱근을 취하고, 모든 변수 지수를 절반으로 나눕니다: $\sqrt{9y^4} = 3y^2$. 첫 번째 근을 a, 두 번째 근을 b라 하면 공식에 따라 $\left(a + b\right)\left(a - b\right)$가 됩니다. 어떤 계수가 완전제곱이 되려면 그 정확한 정수 제곱근을 다시 제곱했을 때 원래 값이 나와야 하며, 거듭제곱 $v^n$은 $n$이 짝수일 때만 완전제곱이 됩니다.

넓이를 재배치하여 a 제곱 빼기 b 제곱이 (a+b)(a−b)와 같음을 보이는 기하학적 증명 — 넓이로 나타낸 항등식 a² − b² = (a+b)(a−b): 남은 부분이 직사각형을 이룬다.

예제 풀이

$4x^2 - 36y^4$을 인수분해해 봅시다. 4와 36의 최대공약수는 4이므로 $4\left(x^2 - 9y^4\right)$이 됩니다. 여기서 $a = \sqrt{x^2} = x$, $b = \sqrt{9y^4} = 3y^2$입니다. 공식을 적용하면 $$x^2 - 9y^4 = \left(x + 3y^2\right)\left(x - 3y^2\right)$$ 이 되고, 다시 GCF를 붙이면 최종 결과는 $4\left(x + 3y^2\right)\left(x - 3y^2\right)$입니다.