二乗の差の因数分解計算ツール｜a²-b² を因数分解

計算を入力してください

結果

答え

4(x + 3y^2)(x - 3y^2)

解き方

Factor out the GCF 4: 4(x^2 - 9y^4)
Identify a = sqrt(x^2) = x, b = sqrt(9y^4) = 3y^2
Apply a^2 - b^2 = (a + b)(a - b): (x + 3y^2)(x - 3y^2)
Final answer: 4(x + 3y^2)(x - 3y^2)

二乗の差とは？

二乗の差とは、$a^2 - b^2$ の形をした式、つまり一方の完全平方からもう一方の完全平方を引いた式のことです。これは代数のなかでも特に役立つ公式の一つで、つねに「和」と「差」の積へときれいに因数分解できます： $$a^2 - b^2 = \left(a + b\right)\left(a - b\right)$$ この計算ツールは、入力された二項式から最大公約数（GCF）を取り出し、残った2つの項がどちらも完全平方かどうかを確認したうえで、因数分解された答えを各ステップ付きで返します。

使い方

指数にはキャレット記号 ^ を使い、二項式を入力欄に入力してください。例えば 4x^2 - 36y^4 のように入力します。2つの項はプラスまたはマイナスの符号でつないでください。計算ボタンを押すと、因数分解された形と解説が表示されます。本ツールは「正の平方 − 正の平方」をそのまま処理できるほか、-4y^2 + 36 のように先頭が負の形は 36 - 4y^2 へ並べ替え、さらに得られた因数（例えば $x^2 - 4$）が再び二乗の差であれば、繰り返し因数分解します。

公式の解説

完全平方の項の平方根をとるには、係数の整数平方根を求め、各変数の指数を半分にします： $$\sqrt{9y^4} = 3y^2$$ 1つ目の根を a、2つ目を b とすると、公式から $\left(a + b\right)\left(a - b\right)$ が得られます。なお、係数が完全平方になるのは、その正確な整数の根を2乗すると元に戻る場合だけです。また、べき乗 $v^n$ が完全平方になるのは、$n$ が偶数のときに限られます。

面積を並べ替えて示す、a の2乗引く b の2乗が (a+b)(a−b) に等しいことの幾何学的証明 — 面積で示した恒等式 a² − b² = (a+b)(a−b)：残った部分が長方形になる。

計算例

$4x^2 - 36y^4$ を因数分解してみましょう。4 と 36 の最大公約数（GCF）は 4 なので、$4\left(x^2 - 9y^4\right)$ と取り出せます。ここで $a = \sqrt{x^2} = x$、$b = \sqrt{9y^4} = 3y^2$ です。公式を当てはめると： $$x^2 - 9y^4 = \left(x + 3y^2\right)\left(x - 3y^2\right)$$ GCF を戻すと、最終的に $4\left(x + 3y^2\right)\left(x - 3y^2\right)$ となります。