공차란 무엇인가요?
등차수열에서는 모든 항이 일정한 값만큼 커지거나 작아집니다. 이 일정한 값을 공차라고 하며, 보통 \(d\)로 표기해요. 예를 들어 3, 7, 11, 15, …에서는 앞 항보다 항상 4씩 커지므로 공차는 4입니다.
계산기 사용 방법
첫째 항(\(a_1\)), 그 뒤에 오는 임의의 항(\(a_n\)), 그리고 그 항의 위치(\(n\))를 입력하세요. 그러면 공차와 둘째 항이 함께 나와 수열을 바로 이어 갈 수 있습니다. 공차는 \((n - 1)\)번의 단계에 걸쳐 나뉘므로 위치 \(n\)은 반드시 2 이상이어야 합니다.
공식 풀이
두 항이 서로 이웃한 경우, 공차는 단순히 두 항의 차이입니다: $$d = a_{n+1} - a_n$$ 첫째 항과 한참 뒤의 항을 알고 있다면, \(a_1\)에서 \(a_n\)까지의 전체 변화량이 \((n - 1)\)개의 동일한 단계에 걸쳐 일어나므로 다음과 같습니다:
$$d = \frac{a_n - a_1}{n - 1}$$
예제로 살펴보기
\(a_1 = 2\)이고 10번째 항이 \(a_{10} = 20\)이라면 \(n = 10\)입니다. 따라서 $$d = \frac{20 - 2}{10 - 1} = \frac{18}{9} = 2$$ 가 됩니다. 둘째 항은 \(a_2 = 2 + 2 = 4\)이며, 이는 수열 2, 4, 6, 8, …, 20을 확인해 줍니다.
자주 묻는 질문
공차가 음수일 수도 있나요? 네. 10, 7, 4, 1처럼 점점 작아지는 수열은 \(d = -3\)입니다.
소수나 분수도 될 수 있나요? 물론입니다. 공차는 0.5나 2.25 같은 임의의 실수가 될 수 있어요.
\(d = 0\)이면 어떻게 되나요? 그러면 모든 항이 같아지는 상수 수열이 되는데, 이것도 엄연히 유효한 등차수열입니다.
