이 계산기로 할 수 있는 것
이 도구는 표준형 \(y = a\cdot\sin(bx - d)\) 형태로 쓰인 사인 함수를 분석합니다. 정확히는 \(y = a\cdot\sin(bx - c) + d\) 꼴이며, 코사인 함수에도 똑같이 적용됩니다. 네 개의 계수 a, b, c, d만 입력하면 파동의 핵심 변환 네 가지, 즉 진폭, 주기, 위상 이동, 수직 이동은 물론 진동수까지 즉시 계산해 드립니다.
사용 방법
함수에 나타난 그대로 계수를 입력하세요. 예를 들어 \(y = 2\cdot\sin(3x - 1)\)이라면 a = 2, b = 3, c = 1, d = 0으로 입력하면 됩니다. 음수와 소수도 모두 처리할 수 있습니다. 만약 함수가 \(a\cdot\sin(b(x - h))\) 형태로 적혀 있다면, 괄호를 풀어 \(c = b\cdot h\)가 되도록 계산한 뒤 입력하세요.
공식 풀이
진폭은 \(|a|\)로, 곡선이 중심선(midline)에서 위아래로 벗어나는 최대 거리입니다. 주기는 \(\frac{2\pi}{|b|}\)로, 한 사이클이 완성되는 가로 길이입니다. |b|가 커질수록 파동이 좌우로 압축됩니다. 위상 이동은 \(\frac{c}{b}\)로, 그래프가 가로로 움직인 양입니다(양수이면 오른쪽으로 이동). 수직 이동 d는 중심선을 위아래로 옮깁니다. 진동수는 주기의 역수입니다.
$$\text{amplitude} = |a|, \quad \text{period} = \frac{2\pi}{|b|}$$$$\text{phase shift} = \frac{c}{b}, \quad \text{vertical shift} = d$$
예제로 확인하기
\(y = 2\cdot\sin(3x - 1)\)을 살펴봅시다. 진폭 \(= |2| = 2\), 주기 \(= \frac{2\pi}{3} \approx 2.0944\), 위상 이동 \(= \frac{1}{3} \approx 0.3333\)(오른쪽), 수직 이동 = 0입니다. 즉 이 파동은 x축을 중심으로 위아래 2만큼 진동하며, 약 2.09 단위마다 한 사이클을 완성하고, 오른쪽으로 약 1/3 단위 이동한 모습입니다.
핵심 용어 정의
- 진폭 \((|a|)\)
- 파동의 최댓값과 최솟값 사이의 수직 거리의 절반 — 중간선 위의 피크 높이. 항상 \(a\)의 절댓값과 같으며, 음수 \(a\)는 곡선을 중간선을 중심으로 대칭 이동하지만 진폭은 변하지 않습니다.
- 주기 \(\left(\tfrac{2\pi}{|b|}\right)\)
- 한 번의 완전한 사이클의 수평 길이. 더 큰 \(|b|\)는 파동을 압축하고 (짧은 주기), 더 작은 \(|b|\)는 파동을 늘입니다 (긴 주기).
- 위상 편이 \(\left(\tfrac{c}{b}\right)\)
- 곡선의 수평 변위. 양수 값은 그래프를 오른쪽으로, 음수 값은 왼쪽으로 이동합니다. \(c/b\)이며, 단순히 \(c\)가 아님을 주목하십시오.
- 수직 이동 / 중간선 \((d)\)
- 파동이 진동하는 수평선 \(y = d\). \(d>0\)일 때 그래프가 위로 이동하고 \(d<0\)일 때 아래로 이동합니다.
- 진동수 \(\left(\tfrac{|b|}{2\pi}\right)\)
- \(x\)의 단위당 완전한 사이클의 개수; 주기의 역수. \(x\)가 시간인 물리적 맥락에서, 이는 초당 사이클 수 (헤르츠)로 측정됩니다.
- 각진동수 \((b)\)
- \(x\)의 계수이며, \(x\)의 단위당 라디안으로 표현됩니다. 이는 \(b = 2\pi f\)를 통해 일반 진동수와 관련되며 사인의 인수가 얼마나 빨리 증가하는지를 결정합니다.
- 계수 \(a, b, c, d\)
- \(y = a\sin(bx - c)+d\)에서: \(a\)는 수직 늘이기와 진폭을 설정하고, \(b\)는 수평 압축 (주기/진동수)을 설정하고, \(c\)는 \(c/b\)를 통해 수평 위상 편이를 제어하고, \(d\)는 중간선의 수직 위치를 설정합니다.
추가 풀이 예제
예제 1: \(y = -4\cos(2x + \pi) + 1\)
코사인으로 작성되었지만 동일한 변환 규칙이 적용됩니다. \(2x+\pi\)를 \(2x-(-\pi)\)로 다시 쓰면 \(a\cos(bx - c)+d\)와 일치하므로 \(a=-4,\ b=2,\ c=-\pi,\ d=1\)입니다.
- 진폭: \(|a| = |-4| = 4\). 음수 부호는 곡선을 대칭 이동하지만 진폭은 4입니다.
- 주기: \(\dfrac{2\pi}{|b|} = \dfrac{2\pi}{2} = \pi\).
- 위상 편이: \(\dfrac{c}{b} = \dfrac{-\pi}{2} = -\dfrac{\pi}{2}\), 즉 왼쪽으로 \(\tfrac{\pi}{2}\).
- 수직 이동: \(d = 1\); 중간선은 \(y = 1\)입니다.
예제 2: \(y = 2\sin(0.5x - 1.5) - 3\)
여기서 \(a=2,\ b=0.5,\ c=1.5,\ d=-3\)입니다.
- 진폭: \(|a| = 2\).
- 주기: \(\dfrac{2\pi}{0.5} = 4\pi \approx 12.566\).
- 위상 편이: \(\dfrac{1.5}{0.5} = 3\) 오른쪽으로.
- 수직 이동: \(d = -3\); 중간선은 \(y = -3\)입니다.
예제 3: \(y = \tfrac{3}{4}\sin(3x - \tfrac{\pi}{2})\)
분수 진폭의 경우로 \(a=\tfrac34,\ b=3,\ c=\tfrac{\pi}{2},\ d=0\)입니다.
- 진폭: \(|a| = \tfrac34 = 0.75\).
- 주기: \(\dfrac{2\pi}{3} \approx 2.094\).
- 위상 편이: \(\dfrac{\pi/2}{3} = \dfrac{\pi}{6} \approx 0.524\) 오른쪽으로.
- 수직 이동: \(d = 0\); 중간선은 \(x\)축입니다.
이 곡선에 대해 단일 출력값을 확인할 수 있습니다. 예를 들어 \(x=\tfrac{\pi}{2}\)에서 \(y = \tfrac34\sin(3\cdot\tfrac{\pi}{2} - \tfrac{\pi}{2}) = \tfrac34\sin(\pi) = \)0.
자주 묻는 질문
코사인 함수에도 쓸 수 있나요? 네. \(y = a\cdot\cos(bx - c) + d\)의 진폭, 주기, 위상 이동, 수직 이동도 같은 방식으로 계산됩니다.
c가 양수인데 왜 위상 이동도 양수인가요? \(bx - c\) 형태에서는 \(\frac{c}{b}\)만큼 그래프가 오른쪽으로 이동하기 때문입니다. 함수가 \(bx + c\) 형태라면 c를 음수로 입력하세요.
b가 0이면 어떻게 되나요? 주기가 0이면 파동으로서 정의되지 않으므로, 0으로 나누는 오류를 피하기 위해 계산기는 0을 반환합니다. 계수를 다시 확인해 보세요.
