Qué hace esta calculadora
Esta herramienta analiza cualquier función sinusoidal escrita en la forma estándar \(y = a\,\sin(bx - c) + d\) (funciona exactamente igual con el coseno). A partir de los cuatro coeficientes a, b, c y d, te devuelve al instante las cuatro transformaciones clave de la onda: amplitud, periodo, desfase y desplazamiento vertical, además de la frecuencia.
Cómo usarla
Introduce los coeficientes tal como aparecen en la función. Por ejemplo, en \(y = 2\cdot\sin(3x - 1)\), pon a = 2, b = 3, c = 1, d = 0. La calculadora admite valores negativos y decimales. Si tu función está escrita como \(a\cdot\sin(b(x - h))\), basta con desarrollar el producto para que \(c = b\cdot h\) antes de introducirla.
La fórmula explicada
La amplitud es \(|a|\), la distancia máxima que la curva sube o baja respecto a su línea media. El periodo es \(\frac{2\pi}{|b|}\), la longitud horizontal de un ciclo completo: cuanto mayor es \(|b|\), más se comprime la onda. El desfase es \(\frac{c}{b}\), el desplazamiento horizontal (un valor positivo desplaza la gráfica hacia la derecha). El desplazamiento vertical \(d\) sube o baja la línea media. La frecuencia es el inverso del periodo.
Ejemplo resuelto
Tomemos \(y = 2\cdot\sin(3x - 1)\). Amplitud \(= |2| = 2\). Periodo \(= \frac{2\pi}{3} \approx 2{,}0944\). Desfase \(= \frac{1}{3} \approx 0{,}3333\) (a la derecha). Desplazamiento vertical \(= 0\). Así, la onda oscila 2 unidades en torno al eje x, completa un ciclo cada ≈2,09 unidades y está desplazada hacia la derecha alrededor de un tercio de unidad.
Términos clave definidos
- Amplitud \((|a|)\)
- La mitad de la distancia vertical entre el máximo y el mínimo de la onda — la altura del pico sobre la línea media. Siempre es igual al valor absoluto de \(a\); un valor negativo de \(a\) refleja la curva sobre la línea media pero no cambia la amplitud.
- Período \(\left(\tfrac{2\pi}{|b|}\right)\)
- La longitud horizontal de un ciclo completo. Un valor mayor de \(|b|\) comprime la onda (período más corto); un valor menor de \(|b|\) la estira (período más largo).
- Desplazamiento de fase \(\left(\tfrac{c}{b}\right)\)
- El desplazamiento horizontal de la curva. Un valor positivo desplaza la gráfica hacia la derecha, un valor negativo hacia la izquierda. Nótese que es \(c/b\), no solo \(c\).
- Desplazamiento vertical / línea media \((d)\)
- La línea horizontal \(y = d\) alrededor de la cual oscila la onda. La gráfica se mueve hacia arriba para \(d>0\) y hacia abajo para \(d<0\).
- Frecuencia \(\left(\tfrac{|b|}{2\pi}\right)\)
- El número de ciclos completos por unidad de \(x\); el recíproco del período. En contextos físicos donde \(x\) es el tiempo, se mide en ciclos por segundo (hertz).
- Frecuencia angular \((b)\)
- El coeficiente en \(x\), expresado en radianes por unidad de \(x\). Se relaciona con la frecuencia ordinaria por \(b = 2\pi f\) y determina qué tan rápido avanza el argumento del seno.
- Los coeficientes \(a, b, c, d\)
- En \(y = a\sin(bx - c)+d\): \(a\) establece el estiramiento vertical y la amplitud, \(b\) establece la compresión horizontal (período/frecuencia), \(c\) controla el desplazamiento de fase horizontal a través de \(c/b\), y \(d\) establece la posición vertical de la línea media.
Más ejemplos resueltos
Ejemplo 1: \(y = -4\cos(2x + \pi) + 1\)
Aunque está escrito con coseno, se aplican las mismas reglas de transformación. Coincídelo con \(a\cos(bx - c)+d\) reescribiendo \(2x+\pi\) como \(2x-(-\pi)\), por lo que \(a=-4,\ b=2,\ c=-\pi,\ d=1\).
- Amplitud: \(|a| = |-4| = 4\). El signo negativo refleja la curva pero la amplitud es 4.
- Período: \(\dfrac{2\pi}{|b|} = \dfrac{2\pi}{2} = \pi\).
- Desplazamiento de fase: \(\dfrac{c}{b} = \dfrac{-\pi}{2} = -\dfrac{\pi}{2}\), es decir, \(\tfrac{\pi}{2}\) hacia la izquierda.
- Desplazamiento vertical: \(d = 1\); la línea media es \(y = 1\).
Ejemplo 2: \(y = 2\sin(0.5x - 1.5) - 3\)
Aquí \(a=2,\ b=0.5,\ c=1.5,\ d=-3\).
- Amplitud: \(|a| = 2\).
- Período: \(\dfrac{2\pi}{0.5} = 4\pi \approx 12.566\).
- Desplazamiento de fase: \(\dfrac{1.5}{0.5} = 3\) hacia la derecha.
- Desplazamiento vertical: \(d = -3\); la línea media es \(y = -3\).
Ejemplo 3: \(y = \tfrac{3}{4}\sin(3x - \tfrac{\pi}{2})\)
Un caso de amplitud fraccionaria con \(a=\tfrac34,\ b=3,\ c=\tfrac{\pi}{2},\ d=0\).
- Amplitud: \(|a| = \tfrac34 = 0.75\).
- Período: \(\dfrac{2\pi}{3} \approx 2.094\).
- Desplazamiento de fase: \(\dfrac{\pi/2}{3} = \dfrac{\pi}{6} \approx 0.524\) hacia la derecha.
- Desplazamiento vertical: \(d = 0\); la línea media es el eje \(x\).
Puede confirmar un valor de salida único para esta curva — por ejemplo, en \(x=\tfrac{\pi}{2}\), \(y = \tfrac34\sin(3\cdot\tfrac{\pi}{2} - \tfrac{\pi}{2}) = \tfrac34\sin(\pi) = \)0.
Preguntas frecuentes
¿Funciona con el coseno? Sí. La amplitud, el periodo, el desfase y el desplazamiento vertical se calculan de la misma manera para \(y = a\cdot\cos(bx - c) + d\).
¿Por qué mi desfase es positivo cuando c es positivo? Con la forma \(bx - c\), el desplazamiento \(\frac{c}{b}\) mueve la gráfica hacia la derecha. Si tu función usa \(bx + c\), introduce c como número negativo.
¿Y si b es 0? Un periodo de 0 no tiene sentido para una onda, así que la calculadora devuelve 0 para evitar dividir entre cero: revisa ese coeficiente.
