Bu hesaplayıcı ne işe yarar?
Bu araç, standart biçimde yazılmış \(y = a\cdot\sin(bx - c) + d\) türündeki her sinüs fonksiyonunu çözümler (kosinüs için de aynı şekilde çalışır). a, b, c ve d katsayılarından yola çıkarak dalganın dört temel dönüşümünü — genlik, periyot, faz kayması ve dikey kayma — ayrıca frekansı anında verir.
Nasıl kullanılır?
Katsayıları fonksiyonda göründükleri gibi girin. Örneğin \(y = 2\cdot\sin(3x - 1)\) fonksiyonunda a = 2, b = 3, c = 1, d = 0 olur. Hesaplayıcı negatif değerleri ve ondalık sayıları da kabul eder. Fonksiyonunuz \(a\cdot\sin(b(x - h))\) biçimindeyse, girmeden önce parantezi açarak c = b·h olacak şekilde düzenleyin.
Formülün açıklaması
Genlik, \(|a|\) değeridir; eğrinin orta çizgisinden en fazla ne kadar yukarı veya aşağı gittiğini gösterir. Periyot, \(\frac{2\pi}{|b|}\) ile bulunur; bir tam çevrimin yatay uzunluğudur — |b| büyüdükçe dalga sıkışır. Faz kayması, \(\frac{c}{b}\) değeridir; yatay yöndeki kaymayı verir (pozitif değer grafiği sağa kaydırır). Dikey kayma d, orta çizgiyi yukarı ya da aşağı taşır. Frekans ise periyodun tersidir.
Çözümlü örnek
\(y = 2\cdot\sin(3x - 1)\) fonksiyonunu ele alalım. Genlik \(= |2| = 2\). Periyot \(= \frac{2\pi}{3} \approx 2{,}0944\). Faz kayması \(= \frac{1}{3} \approx 0{,}3333\) (sağa). Dikey kayma = 0. Yani dalga x ekseni çevresinde 2 birim salınır, her ≈2,09 birimde bir çevrimini tamamlar ve yaklaşık üçte bir birim sağa kaymıştır.
Sık sorulan sorular
Kosinüs için de işe yarar mı? Evet. Genlik, periyot, faz kayması ve dikey kayma, \(y = a\cdot\cos(bx - c) + d\) için de aynı şekilde hesaplanır.
c pozitifken faz kayması neden pozitif çıkıyor? \(bx - c\) biçiminde \(\frac{c}{b}\) kayması grafiği sağa taşır. Fonksiyon \(bx + c\) biçimindeyse c'yi negatif sayı olarak girin.
b sıfır olursa ne olur? Bir dalga için 0 periyodu tanımsızdır; bu yüzden hesaplayıcı sıfıra bölme hatasını önlemek için 0 döndürür — katsayınızı kontrol edin.
Temel Terimler Tanımlandı
- Genlik \((|a|)\)
- Dalganın maksimum ve minimumu arasındaki dikey mesafenin yarısı — tepe noktasının orta çizginin üzerindeki yüksekliği. Her zaman \(a\) nın mutlak değerine eşittir; negatif bir \(a\) eğriyi orta çizgiye göre yansıtır ancak genliği değiştirmez.
- Periyot \(\left(\tfrac{2\pi}{|b|}\right)\)
- Bir tam döngünün yatay uzunluğu. Daha büyük \(|b|\) dalgayı sıkıştırır (daha kısa periyot); daha küçük \(|b|\) onu uzatır (daha uzun periyot).
- Faz kayması \(\left(\tfrac{c}{b}\right)\)
- Eğrinin yatay yer değiştirmesi. Pozitif bir değer grafiği sağa kaydırır, negatif bir değer sola kaydırır. Bunun \(c/b\) olduğunu, sadece \(c\) olmadığını unutmayın.
- Dikey kaymış / orta çizgi \((d)\)
- Dalganın etrafında salındığı yatay çizgi \(y = d\). Grafik \(d>0\) için yukarı ve \(d<0\) için aşağı hareket eder.
- Frekans \(\left(\tfrac{|b|}{2\pi}\right)\)
- \(x\) in birim başına tam döngü sayısı; periyodun tersi. \(x\) zamanın olduğu fiziksel bağlamlarda, bu saniye başına döngü (hertz) cinsinden ölçülür.
- Açısal frekans \((b)\)
- \(x\) üzerindeki katsayı, \(x\) in birim başına radyan cinsinden ifade edilir. Sıradan frekansla \(b = 2\pi f\) ile ilişkilidir ve sinüsün argümanının ne kadar hızlı ilerlediğini belirler.
- Katsayılar \(a, b, c, d\)
- \(y = a\sin(bx - c)+d\) içinde: \(a\) dikey uzatma ve genliği ayarlar, \(b\) yatay sıkıştırmayı (periyot/frekans) ayarlar, \(c\) yatay faz kaymasını \(c/b\) aracılığıyla kontrol eder ve \(d\) orta çizginin dikey konumunu ayarlar.
Daha Fazla Çalışılmış Örnek
Örnek 1: \(y = -4\cos(2x + \pi) + 1\)
Kosinüs ile yazılmış olsa da, aynı dönüşüm kuralları geçerlidir. \(2x+\pi\) yi \(2x-(-\pi)\) olarak yeniden yazarak \(a\cos(bx - c)+d\) ile eşleştirin, böylece \(a=-4,\ b=2,\ c=-\pi,\ d=1\).
- Genlik: \(|a| = |-4| = 4\). Negatif işaret eğriyi yansıtır ancak genlik 4'tür.
- Periyot: \(\dfrac{2\pi}{|b|} = \dfrac{2\pi}{2} = \pi\).
- Faz kayması: \(\dfrac{c}{b} = \dfrac{-\pi}{2} = -\dfrac{\pi}{2}\), yani sola doğru \(\tfrac{\pi}{2}\).
- Dikey kaymış: \(d = 1\); orta çizgi \(y = 1\) dir.
Örnek 2: \(y = 2\sin(0.5x - 1.5) - 3\)
Burada \(a=2,\ b=0.5,\ c=1.5,\ d=-3\).
- Genlik: \(|a| = 2\).
- Periyot: \(\dfrac{2\pi}{0.5} = 4\pi \approx 12,566\).
- Faz kayması: \(\dfrac{1.5}{0.5} = 3\) sağa doğru.
- Dikey kaymış: \(d = -3\); orta çizgi \(y = -3\) tür.
Örnek 3: \(y = \tfrac{3}{4}\sin(3x - \tfrac{\pi}{2})\)
Kesirli genlik durumu \(a=\tfrac34,\ b=3,\ c=\tfrac{\pi}{2},\ d=0\) ile.
- Genlik: \(|a| = \tfrac34 = 0,75\).
- Periyot: \(\dfrac{2\pi}{3} \approx 2,094\).
- Faz kayması: \(\dfrac{\pi/2}{3} = \dfrac{\pi}{6} \approx 0,524\) sağa doğru.
- Dikey kaymış: \(d = 0\); orta çizgi \(x\) eksenidir.
Bu eğri için tek bir çıktı değerini doğrulayabilirsiniz — örneğin \(x=\tfrac{\pi}{2}\) de, \(y = \tfrac34\sin(3\cdot\tfrac{\pi}{2} - \tfrac{\pi}{2}) = \tfrac34\sin(\pi) = \)0.
