Bu Hesaplama Aracı Ne İşe Yarar?
Bu araç, standart \(y = A\cdot\sin(Bx + C) + D\) biçiminde yazılmış her türlü sinüs fonksiyonunu analiz eder (aynı kurallar kosinüs için de geçerlidir). Dört katsayıdan yola çıkarak genliği, periyodu, frekansı, yatay faz kaymasını ve dikey orta çizgiyi bulur. Yani bir dalgayı çizmek ya da tanımlamak için ihtiyacınız olan tüm temel özellikleri tek seferde önünüze koyar.
Nasıl Kullanılır?
Sırasıyla şu katsayıları girin: trigonometrik fonksiyonu çarpan A, fonksiyonun içinde x'i çarpan B, içeride eklenen sabit olan C ve dışarıda eklenen sabit olan D. Fonksiyonunuzda herhangi bir kayma yoksa C ve D değerlerini 0 olarak bırakın. Ardından hesapla düğmesine basarak beş temel özelliği görebilirsiniz.
Formüller ve Açıklamaları
Genlik, \(|A|\) değerine eşittir ve eğrinin orta çizgisinin üstüne çıktığı ya da altına indiği en büyük uzaklığı gösterir. Periyot, $$T = \frac{2\pi}{|B|}$$ formülüyle bulunur ve bir tam döngünün yatay uzunluğudur. Frekans ise $$f = \frac{|B|}{2\pi}$$ olup x'in her biriminde kaç döngü tamamlandığını ifade eder; periyot ile frekans birbirinin tersidir. Faz kayması \(-\frac{C}{B}\) değerine eşittir (pozitif değer sağa kaymayı gösterir). Orta çizgi ise dalganın etrafında salındığı \(y = D\) yatay doğrusudur.
Çözümlü Örnek
\(y = 3\cdot\sin(2x)\) fonksiyonunu ele alalım: \(A = 3\), \(B = 2\), \(C = 0\), \(D = 0\). Genlik \(= |3| = 3\). $$\text{Periyot} = \frac{2\pi}{|2|} = \pi \approx 3{,}1416$$ $$\text{Frekans} = \frac{|2|}{2\pi} = \frac{1}{\pi} \approx 0{,}31831$$ Faz kayması \(= -\frac{0}{2} = 0\). Orta çizgi \(= 0\). Yani bu dalga \(-3\) ile \(3\) arasında salınır ve her \(\pi\) birimde bir tam döngü tamamlar.
Daha Fazla Çözümlü Örnek
Herhangi bir sinüs fonksiyonu \(y = A\sin(Bx + C) + D\) olarak yazıldığında (kosinüs de aynı şekilde çalışır), beş temel nicelik şunlardır: genlik \(|A|\), periyot \(T = \dfrac{2\pi}{|B|}\), frekans \(f = \dfrac{|B|}{2\pi}\), faz kayması \(-\dfrac{C}{B}\), ve orta çizgi \(y = D\).
Örnek 1 — Bir kosinüs fonksiyonu: \(y = 3\cos(2x)\)
Burada \(A = 3\), \(B = 2\), \(C = 0\), \(D = 0\).
- Genlik: \(|A| = |3| = 3\).
- Periyot: \(T = \dfrac{2\pi}{|B|} = \dfrac{2\pi}{2} = \)\(\pi\).
- Frekans: \(f = \dfrac{|B|}{2\pi} = \dfrac{2}{2\pi} = \dfrac{1}{\pi} \approx 0.318\) birim başına döngü.
- Faz kayması: \(-\dfrac{C}{B} = -\dfrac{0}{2} = 0\) (yatay kaymaya olmamışolmamıştır).
- Orta çizgi: \(y = D = 0\).
Grafik, \(-3\) ile \(3\) arasında salınan bir kosinüstür ve her \(\pi\) birimde bir tam döngü tamamlar.
Örnek 2 — Faz kayması ve orta çizgi: \(y = 2\sin\!\left(3x + \dfrac{\pi}{2}\right) + 4\)
Burada \(A = 2\), \(B = 3\), \(C = \dfrac{\pi}{2}\), \(D = 4\).
- Genlik: \(|A| = 2\).
- Periyot: \(T = \dfrac{2\pi}{|B|} = \dfrac{2\pi}{3} \approx 2.094\).
- Frekans: \(f = \dfrac{|B|}{2\pi} = \dfrac{3}{2\pi} \approx 0.477\).
- Faz kayması: \(-\dfrac{C}{B} = -\dfrac{\pi/2}{3} = -\dfrac{\pi}{6} \approx -0.524\) (sola \(\tfrac{\pi}{6}\) kaydırılmış).
- Orta çizgi: \(y = D = 4\); dalga \(4-2 = 2\) ile \(4+2 = 6\) arasında salınır.
Tanımlar ve Sözlük
- Katsayı A (dikey germe)
- Sinüs veya kosinüsü çarpan sayı. Mutlak değeri dalganın ne kadar yüksek olduğunu belirler; negatif \(A\) eğriyi orta çizgi üzerinde yansıtır.
- Genlik \(|A|\)
- Orta çizgiden bir tepeye (veya çukura) kadar olan maksimum uzaklık, her zaman negatif olmayan: \(\text{genlik} = |A|\). Eğri \(D-|A|\) ile \(D+|A|\) arasında değişir.
- Katsayı B (açısal frekans)
- Trigonometrik fonksiyonun içinde \(x\) i çarpan sayı. Daha büyük \(|B|\) dalgayı yatay olarak sıkıştırır ve birim başına daha fazla döngü üretir.
- Periyot \(T = \dfrac{2\pi}{|B|}\)
- Bir tam döngünün yatay uzunluğu. Yalnızca \(|B|\) bağlıdır, \(A\), \(C\) veya \(D\) bağlı değildir.
- Frekans \(f = \dfrac{|B|}{2\pi} = \dfrac{1}{T}\)
- \(x\) nin birim başına tam döngü sayısı — periyodun tersi.
- Katsayı C (faz terimi)
- Trigonometrik argümanın içine eklenen sabit. \(B\) ile birlikte dalganın yatay yer değiştirmesini belirler.
- Faz kayması \(-\dfrac{C}{B}\)
- Eğrinin ne kadar yatay olarak kaydığını gösterir. Pozitif bir sonuç sağa kaydırır; negatif bir sonuç sola kaydırır. (\(Bx + C = B(x + C/B)\) çarpanlarına ayrıldığında kaymayı ortaya koyan.)
- Katsayı D (dikey kaymış)
- Trigonometrik fonksiyonun dışına eklenen sabit, tüm dalgayı yukarı veya aşağı kaldırır.
- Orta çizgi \(y = D\)
- Dalganın salındığı yatay çizgi, maksimum ve minimum değerler arasında yarı yolda konumlanan.
Sıkça Sorulan Sorular
Kosinüs fonksiyonlarında da çalışır mı? Evet. Genlik, periyot ve frekans formülleri sinüs ile kosinüs için tamamen aynıdır; yalnızca başlangıç noktaları farklıdır.
B negatif olursa ne olur? Periyot ve frekans hesabında \(|B|\) kullanıldığı için negatif bir B aynı periyodu verir; tek farkı grafiği yatay eksende ters çevirmesidir.
Faz kayması neden C değil de \(-\frac{C}{B}\)? \(Bx + C\) ifadesini \(B\left(x + \frac{C}{B}\right)\) şeklinde çarpanlarına ayırdığımızda, yatay ötelemenin ham sabit C değil, \(-\frac{C}{B}\) olduğu açıkça görülür.
