这个计算器能做什么
本工具可分析任意写成标准形式 \(y = A\cdot\sin(Bx + C) + D\) 的正弦型函数（余弦函数同样适用）。只要输入四个系数，它就能算出振幅、周期、频率、水平相位平移以及垂直中线——这些都是绘制或描述一条波形曲线时必不可少的关键特征。
使用方法
依次填入系数 A（三角函数前的乘数）、B（函数内 x 前的乘数）、C（函数内部相加的常数）和 D（函数外部相加的常数）。如果函数没有平移，把 C 和 D 留作 0 即可。点击计算，五项特征便会一次性呈现。
公式详解
振幅为 \(|A|\)，即曲线相对中线向上或向下偏离的最大距离。周期 $$T = \frac{2\pi}{|B|}$$ 是一个完整循环在横轴上的长度，而频率 $$f = \frac{|B|}{2\pi}$$ 表示每单位 x 内出现多少个循环——二者互为倒数。相位平移等于 \(-\frac{C}{B}\)（结果为正表示曲线向右平移）。中线是波形上下振荡所围绕的水平直线 \(y = D\)。
实例演算
以 \(y = 3\cdot\sin(2x)\) 为例：A = 3，B = 2，C = 0，D = 0。振幅 \(= |3| = 3\)。周期 $$= \frac{2\pi}{|2|} = \pi \approx 3.1416$$ 频率 $$= \frac{|2|}{2\pi} = \frac{1}{\pi} \approx 0.31831$$ 相位平移 \(= -\frac{0}{2} = 0\)。中线 \(= 0\)。因此这条波形在 \(-3\) 与 \(3\) 之间往复摆动，每 \(\pi\) 个单位完成一个循环。
更多应用示例
对于任何形式为 \(y = A\sin(Bx + C) + D\) 的正弦函数（余弦函数同样适用），五个关键量是振幅 \(|A|\)、周期 \(T = \dfrac{2\pi}{|B|}\)、频率 \(f = \dfrac{|B|}{2\pi}\)、相位移 \(-\dfrac{C}{B}\) 和中线 \(y = D\)。
示例 1 — 余弦函数：\(y = 3\cos(2x)\)
此处 \(A = 3\)、\(B = 2\)、\(C = 0\)、\(D = 0\)。
- 振幅： \(|A| = |3| = 3\)。
- 周期： \(T = \dfrac{2\pi}{|B|} = \dfrac{2\pi}{2} = \)\(\pi\)。
- 频率： \(f = \dfrac{|B|}{2\pi} = \dfrac{2}{2\pi} = \dfrac{1}{\pi} \approx 0.318\) 个周期/单位。
- 相位移： \(-\dfrac{C}{B} = -\dfrac{0}{2} = 0\)（无水平移动）。
- 中线： \(y = D = 0\)。
图像是在 \(-3\) 和 \(3\) 之间振荡的余弦波，每 \(\pi\) 个单位完成一个周期。
示例 2 — 相位移和中线：\(y = 2\sin\!\left(3x + \dfrac{\pi}{2}\right) + 4\)
此处 \(A = 2\)、\(B = 3\)、\(C = \dfrac{\pi}{2}\)、\(D = 4\)。
- 振幅： \(|A| = 2\)。
- 周期： \(T = \dfrac{2\pi}{|B|} = \dfrac{2\pi}{3} \approx 2.094\)。
- 频率： \(f = \dfrac{|B|}{2\pi} = \dfrac{3}{2\pi} \approx 0.477\)。
- 相位移： \(-\dfrac{C}{B} = -\dfrac{\pi/2}{3} = -\dfrac{\pi}{6} \approx -0.524\)（向左移动 \(\tfrac{\pi}{6}\)）。
- 中线： \(y = D = 4\)；波在 \(4-2 = 2\) 和 \(4+2 = 6\) 之间振荡。
定义与术语表
- 系数 A（垂直拉伸）
- 乘以正弦或余弦的数字。其绝对值设定波的高度；负的 \(A\) 也会将曲线沿中线反射。
- 振幅 \(|A|\)
- 从中线到峰值（或谷值）的最大距离，始终非负：\(\text{振幅} = |A|\)。曲线范围从 \(D-|A|\) 到 \(D+|A|\)。
- 系数 B（角频率）
- 乘以三角函数内 \(x\) 的数字。较大的 \(|B|\) 会使波水平压缩，产生更多单位周期数。
- 周期 \(T = \dfrac{2\pi}{|B|}\)
- 一个完整周期的水平长度。它仅取决于 \(|B|\)，与 \(A\)、\(C\) 或 \(D\) 无关。
- 频率 \(f = \dfrac{|B|}{2\pi} = \dfrac{1}{T}\)
- \(x\) 单位长度内完整周期的数量——周期的倒数。
- 系数 C（相位项）
- 在三角函数参数内添加的常数。与 \(B\) 结合，它确定波的水平位移。
- 相位移 \(-\dfrac{C}{B}\)
- 曲线水平移动的距离。正结果向右移动；负结果向左移动。（分解 \(Bx + C = B(x + C/B)\) 可以看出移动。）
- 系数 D（垂直移动）
- 在三角函数外添加的常数，将整个波向上或向下移动。
- 中线 \(y = D\)
- 波围绕振荡的水平线，位于最大值和最小值之间的中点。
常见问题
余弦函数也能用吗？可以。正弦与余弦的振幅、周期、频率公式完全相同，区别只在于起始位置不同。
如果 B 是负数怎么办？周期和频率都取 \(|B|\)，所以 B 为负时周期不变——它只是让图像沿水平方向翻转。
为什么相位平移是 \(-\frac{C}{B}\) 而不是 C？把 \(Bx + C\) 因式分解为 \(B\left(x + \frac{C}{B}\right)\)，可以看出水平方向的平移量是 \(-\frac{C}{B}\)，而非原始常数 C。
