이 계산기로 무엇을 할 수 있나요
이 도구는 표준형 \(y = A\cdot\sin(Bx + C) + D\)로 표현된 모든 사인형 함수를 분석합니다(코사인 함수에도 동일하게 적용됩니다). 네 개의 계수만 입력하면 진폭, 주기, 주파수, 수평 방향 위상 이동, 중심선을 한 번에 뽑아냅니다. 파동을 그래프로 그리거나 설명할 때 꼭 필요한 핵심 특성들이죠.
사용 방법
삼각함수에 곱해지는 계수 A, 함수 내부에서 x에 곱해지는 B, 내부에 더해지는 상수 C, 그리고 함수 바깥에 더해지는 상수 D를 입력하세요. 이동이 없는 함수라면 C와 D는 0으로 두면 됩니다. 계산 버튼을 누르면 다섯 가지 특성이 모두 표시됩니다.
공식 한눈에 이해하기
진폭은 \(|A|\)로, 곡선이 중심선을 기준으로 위아래로 움직이는 최대 거리입니다. 주기 $$T = \frac{2\pi}{|B|}$$ 는 한 번의 완전한 사이클이 차지하는 수평 길이이고, 주파수 $$f = \frac{|B|}{2\pi}$$ 는 x의 단위 길이당 몇 번의 사이클이 일어나는지를 나타냅니다. 주기와 주파수는 서로 역수 관계입니다. 위상 이동은 \(-\frac{C}{B}\)이며(양수면 오른쪽으로 이동), 중심선은 파동이 그 주위에서 진동하는 수평선 \(y = D\)입니다.
예제로 풀어보기
\(y = 3\cdot\sin(2x)\)인 경우 \(A = 3\), \(B = 2\), \(C = 0\), \(D = 0\)입니다. 진폭 \(= |3| = 3\), 주기 $$= \frac{2\pi}{|2|} = \pi \approx 3.1416$$ 주파수 $$= \frac{|2|}{2\pi} = \frac{1}{\pi} \approx 0.31831$$ 위상 이동 \(= -\frac{0}{2} = 0\), 중심선 \(= 0\)입니다. 즉 이 파동은 \(-3\)과 \(3\) 사이를 오가며 \(\pi\) 단위마다 한 사이클을 완성합니다.
추가 풀이 예제
\(y = A\sin(Bx + C) + D\)로 쓴 정현파 함수(코사인도 동일하게 작동)에 대해, 다섯 가지 주요 량(量)은 진폭 \(|A|\), 주기 \(T = \dfrac{2\pi}{|B|}\), 진동수 \(f = \dfrac{|B|}{2\pi}\), 위상 이동 \(-\dfrac{C}{B}\), 그리고 중앙선 \(y = D\)입니다.
예제 1 — 코사인 함수: \(y = 3\cos(2x)\)
여기서 \(A = 3\), \(B = 2\), \(C = 0\), \(D = 0\)입니다.
- 진폭: \(|A| = |3| = 3\).
- 주기: \(T = \dfrac{2\pi}{|B|} = \dfrac{2\pi}{2} = \)\(\pi\).
- 진동수: \(f = \dfrac{|B|}{2\pi} = \dfrac{2}{2\pi} = \dfrac{1}{\pi} \approx 0.318\) 단위 당 사이클.
- 위상 이동: \(-\dfrac{C}{B} = -\dfrac{0}{2} = 0\) (수평 이동 없음).
- 중앙선: \(y = D = 0\).
그래프는 \(-3\)과 \(3\) 사이에서 진동하는 코사인 함수이며, \(\pi\) 단위마다 한 주기를 완성합니다.
예제 2 — 위상 이동과 중앙선: \(y = 2\sin\!\left(3x + \dfrac{\pi}{2}\right) + 4\)
여기서 \(A = 2\), \(B = 3\), \(C = \dfrac{\pi}{2}\), \(D = 4\)입니다.
- 진폭: \(|A| = 2\).
- 주기: \(T = \dfrac{2\pi}{|B|} = \dfrac{2\pi}{3} \approx 2.094\).
- 진동수: \(f = \dfrac{|B|}{2\pi} = \dfrac{3}{2\pi} \approx 0.477\).
- 위상 이동: \(-\dfrac{C}{B} = -\dfrac{\pi/2}{3} = -\dfrac{\pi}{6} \approx -0.524\) (\(\tfrac{\pi}{6}\)만큼 왼쪽으로 이동).
- 중앙선: \(y = D = 4\); 파형은 \(4-2 = 2\)와 \(4+2 = 6\) 사이에서 진동합니다.
정의 및 용어집
- 계수 A (수직 신축)
- 사인 또는 코사인에 곱해지는 수입니다. 그 절댓값은 파형이 얼마나 높은지를 나타내며, 음수 \(A\)는 곡선을 중앙선에 대해 대칭 이동합니다.
- 진폭 \(|A|\)
- 중앙선에서 봉우리(또는 골짜기)까지의 최대 거리로, 항상 음이 아닙니다: \(\text{진폭} = |A|\). 곡선의 범위는 \(D-|A|\)부터 \(D+|A|\)입니다.
- 계수 B (각 진동수)
- 삼각함수 내부에서 \(x\)에 곱해지는 수입니다. \(|B|\)가 클수록 파형이 수평으로 압축되어 단위당 더 많은 주기를 만듭니다.
- 주기 \(T = \dfrac{2\pi}{|B|}\)
- 한 번의 완전한 주기의 수평 길이입니다. \(|B|\)에만 의존하고, \(A\), \(C\), \(D\)에는 의존하지 않습니다.
- 진동수 \(f = \dfrac{|B|}{2\pi} = \dfrac{1}{T}\)
- \(x\)의 단위당 완전한 주기의 개수 — 주기의 역수입니다.
- 계수 C (위상항)
- 삼각함수 인수 내부에 더해지는 상수입니다. \(B\)와 함께 파형의 수평 변위를 결정합니다.
- 위상 이동 \(-\dfrac{C}{B}\)
- 곡선이 수평으로 얼마나 이동하는지를 나타냅니다. 양수 결과는 오른쪽으로 이동하고, 음수 결과는 왼쪽으로 이동합니다. (\(Bx + C = B(x + C/B)\)로 인수분해하면 이동이 드러납니다.)
- 계수 D (수직 이동)
- 삼각함수 외부에 더해지는 상수로, 전체 파형을 위아래로 이동합니다.
- 중앙선 \(y = D\)
- 파형이 진동하는 수평선으로, 최댓값과 최솟값의 중간에 위치합니다.
자주 묻는 질문
코사인 함수에도 쓸 수 있나요? 네. 진폭, 주기, 주파수 공식은 사인과 코사인이 완전히 동일합니다. 단지 시작점만 다를 뿐입니다.
B가 음수이면 어떻게 되나요? 주기와 주파수는 \(|B|\)를 사용하므로, B가 음수여도 주기는 같습니다. 다만 그래프가 수평 방향으로 뒤집힐 뿐입니다.
위상 이동이 왜 C가 아니라 \(-\frac{C}{B}\)인가요? \(Bx + C = B\left(x + \frac{C}{B}\right)\)로 인수분해해 보면, 실제 수평 이동량은 원래 상수 C가 아니라 \(-\frac{C}{B}\)임을 알 수 있습니다.
