좌표로 삼각형 넓이 구하기 계산기 (신발끈 공식)

부호 있는 넓이	6
방향	Counter-clockwise
계산 방식	신발끈 공식

이 계산기는 무엇을 하나요?

이 도구는 좌표평면 위에 있는 삼각형의 세 꼭짓점 좌표만 알면 그 넓이를 구해 줍니다. 밑변과 높이를 따로 잴 필요 없이, 각 점을 (x, y) 형태로 입력하기만 하면 됩니다. 그러면 계산기가 신발끈 공식을 적용해 정확한 넓이를 제곱 단위로 알려 줍니다.

세 꼭짓점에 라벨이 붙은 좌표 격자 위에 그려진 삼각형 — xy 평면 위의 세 꼭짓점으로 정의된 삼각형.

사용 방법

세 꼭짓점의 좌표 $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$, $(x_3, y_3)$를 입력하세요. 계산 버튼을 누르면 넓이가 표시됩니다. 결과에는 부호가 있는 넓이도 함께 나오는데, 이 값으로 점들의 배열 방향을 알 수 있습니다. 양수이면 꼭짓점이 반시계 방향으로 나열된 것이고, 음수이면 시계 방향, 0이면 세 점이 한 직선 위에 있다는 뜻입니다(넓이가 없는 퇴화 삼각형).

공식 설명

신발끈 공식(가우스 넓이 공식)은 신발끈을 엇갈려 묶듯이 좌표를 X자 모양으로 교차해서 곱하며 넓이를 구합니다.

$$\text{Area} = \frac{1}{2}\left|\, x_1\left(y_2 - y_3\right) + x_2\left(y_3 - y_1\right) + x_3\left(y_1 - y_2\right) \right|$$

각 항은 한 꼭짓점의 x값에 이웃한 두 점의 y값 차이를 곱한 것입니다. 이를 모두 더하고 2로 나누면 부호가 있는 넓이의 두 배가 되고, 절댓값을 취하면 점을 어떤 순서로 입력했든 항상 양의 기하학적 넓이가 나옵니다.

삼각형 꼭짓점 좌표 간의 교차 곱셈을 보여주는 신발끈 패턴 — 신발끈 공식은 좌표를 엇갈리게 교차 곱셈합니다.

계산 예시

꼭짓점이 A(0, 0), B(4, 0), C(0, 3)인 직각삼각형을 생각해 봅시다. 공식에 대입하면 $$A = \frac{1}{2}\left|0(0-3) + 4(3-0) + 0(0-0)\right| = \frac{1}{2}\left|0 + 12 + 0\right| = \frac{1}{2} \times 12 = 6 \text{ 제곱 단위}$$가 됩니다. 이는 $\text{밑변} \times \text{높이} \div 2 = 4 \times 3 \div 2 = 6$과 정확히 일치하므로 공식이 옳음을 확인할 수 있습니다.

더 많은 연습 예제

각 예제는 신발끈 공식 $\text{넓이} = \frac{1}{2}\left|\,x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)\right|$을 사용합니다. 막대 기호 안의 식(절댓값을 취하기 전)은 부호가 있는 넓이이며, 그 부호는 꼭짓점의 방향을 나타냅니다.

예제 1 — 음수 좌표

꼭짓점 $A(-4,-2)$, $B(1,-3)$, $C(-1,4)$는 반시계 방향으로 나열되어 있습니다.

$$\begin{aligned}\text{넓이} &= \tfrac12\left|\,(-4)(-3-4) + (1)(4-(-2)) + (-1)((-2)-(-3))\right|\\ &= \tfrac12\left|\,(-4)(-7) + (1)(6) + (-1)(1)\right|\\ &= \tfrac12\left|\,28 + 6 - 1\right| = \tfrac12(33)\end{aligned}$$

넓이는 16.5 제곱단위입니다. 부호가 있는 값 $+33/2$이 양수이므로, 꼭짓점은 반시계 방향으로 순서가 정해졌습니다.

예제 2 — 소수 좌표

꼭짓점 $A(1.5,\,2.0)$, $B(4.5,\,3.5)$, $C(2.0,\,6.0)$.

$$\begin{aligned}\text{넓이} &= \tfrac12\left|\,1.5(3.5-6.0) + 4.5(6.0-2.0) + 2.0(2.0-3.5)\right|\\ &= \tfrac12\left|\,1.5(-2.5) + 4.5(4.0) + 2.0(-1.5)\right|\\ &= \tfrac12\left|\,-3.75 + 18.0 - 3.0\right| = \tfrac12(11.25)\end{aligned}$$

넓이는 5.625 제곱단위입니다.

예제 3 — 시계 방향 순서(음수 부호가 있는 넓이)

꼭짓점이 시계 방향으로 나열된 삼각형을 생각해봅시다: $A(0,0)$, $B(0,4)$, $C(6,0)$.

$$\begin{aligned}\text{부호가 있는 넓이} &= \tfrac12\left[\,0(4-0) + 0(0-0) + 6(0-4)\right]\\ &= \tfrac12\left[\,0 + 0 + 6(-4)\right] = \tfrac12(-24) = -12\end{aligned}$$

부호가 있는 넓이는 $-12$이며, 음수 부호는 꼭짓점이 시계 방향으로 순서가 정해졌음을 확인해줍니다. 절댓값을 취하면 기하학적 넓이인 12 제곱단위를 얻습니다. 이것은 다리의 길이가 6과 4인 직각삼각형이므로, 같은 답이 $\tfrac12\,bh = \tfrac12(6)(4) = $ 12에서 나옵니다.

직접 계산하는 방법

꼭짓점을 순서대로 나열합니다. 세 점을 $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$, $(x_3,y_3)$으로 쓰고, 삼각형 주위를 한 방향(시계 방향 또는 반시계 방향)으로 일관되게 이동합니다. 시작 꼭짓점은 중요하지 않지만, 순서는 중요합니다.
신발끈 항에 대입합니다. 세 가지 곱 $x_1(y_2-y_3)$, $x_2(y_3-y_1)$, $x_3(y_1-y_2)$을 만듭니다. 먼저 각 괄호(두 $y$ 값의 차)를 계산한 다음 일치하는 $x$를 곱합니다.
외적을 합산합니다. 세 항을 모두 더하고 모든 부호를 유지합니다:
$S = x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)$.
반으로 나누어 부호가 있는 넓이를 구합니다. $\dfrac{S}{2}$를 계산합니다. 이 수는 양수 또는 음수일 수 있으며, 이것이 부호가 있는(방향이 있는) 넓이입니다.
기하학적 넓이를 위해 절댓값을 취합니다. 삼각형의 실제 넓이는 $\left|\dfrac{S}{2}\right|$이며, 항상 제곱단위로 표현된 음이 아닌 수입니다.

부호 해석: 양수 부호가 있는 넓이는 꼭짓점이 반시계 방향으로 나열되었음을 의미합니다. 음수 부호가 있는 넓이는 시계 방향으로 나열되었음을 의미합니다. $S = 0$이면 세 점은 일직선상에 있으며 "삼각형"은 퇴화되어 있습니다(넓이 0). 기하학적 넓이는 순서와 관계없이 동일합니다. 절댓값 앞의 부호만 변합니다.

정의 & 용어집

꼭짓점: 삼각형의 모서리 점입니다. 삼각형은 세 개의 꼭짓점을 가지며, 각각은 여기서 $(x,y)$ 좌표 쌍으로 주어집니다.
데카르트 좌표 쌍: 평면 위의 점을 나타내는 순서쌍 $(x,y)$이며, $x$는 원점 $(0,0)$에서의 수평 거리이고 $y$는 수직 거리입니다.
부호가 있는(방향이 있는) 넓이: 절댓값을 취하기 전 신발끈 공식에서 나온 값 $\tfrac12\,S$입니다. 그 크기는 넓이이고, 그 부호는 꼭짓점이 나열된 방향을 나타냅니다.
방향(시계 방향/반시계 방향): 나열된 꼭짓점의 회전 방향입니다. 반시계 방향(반시계)은 양수 부호가 있는 넓이를 제공하고, 시계 방향(시계)은 음수 부호가 있는 넓이를 제공합니다.
일직선상: 단일 직선 위에 있는 세 개 이상의 점입니다. 일직선상의 꼭짓점은 신발끈 합을 0으로 만듭니다.
퇴화 삼각형: 세 꼭짓점이 일직선상에 있는 "삼각형"이므로, 선분으로 축소되며 넓이가 0입니다.
제곱단위: 넓이의 단위이며, 좌표의 단위의 제곱과 같습니다(예를 들어, 좌표가 미터 단위이면 넓이는 제곱미터 단위이며 m$^2$입니다).