좌표로 삼각형 넓이 구하기 계산기

계산 입력

x₁

y₁

x₂

y₂

x₃

y₃

결과

삼각형 넓이

6

제곱 단위

부호 있는 넓이	6
방향	Counter-clockwise
계산 방식	신발끈 공식

이 계산기는 무엇을 하나요?

이 도구는 좌표평면 위에 있는 삼각형의 세 꼭짓점 좌표만 알면 그 넓이를 구해 줍니다. 밑변과 높이를 따로 잴 필요 없이, 각 점을 (x, y) 형태로 입력하기만 하면 됩니다. 그러면 계산기가 신발끈 공식을 적용해 정확한 넓이를 제곱 단위로 알려 줍니다.

xy 평면 위의 세 꼭짓점으로 정의된 삼각형.

사용 방법

세 꼭짓점의 좌표 \((x_1, y_1)\), \((x_2, y_2)\), \((x_3, y_3)\)를 입력하세요. 계산 버튼을 누르면 넓이가 표시됩니다. 결과에는 부호가 있는 넓이도 함께 나오는데, 이 값으로 점들의 배열 방향을 알 수 있습니다. 양수이면 꼭짓점이 반시계 방향으로 나열된 것이고, 음수이면 시계 방향, 0이면 세 점이 한 직선 위에 있다는 뜻입니다(넓이가 없는 퇴화 삼각형).

공식 설명

신발끈 공식(가우스 넓이 공식)은 신발끈을 엇갈려 묶듯이 좌표를 X자 모양으로 교차해서 곱하며 넓이를 구합니다.

$$\text{Area} = \frac{1}{2}\left|\, x_1\left(y_2 - y_3\right) + x_2\left(y_3 - y_1\right) + x_3\left(y_1 - y_2\right) \right|$$

각 항은 한 꼭짓점의 x값에 이웃한 두 점의 y값 차이를 곱한 것입니다. 이를 모두 더하고 2로 나누면 부호가 있는 넓이의 두 배가 되고, 절댓값을 취하면 점을 어떤 순서로 입력했든 항상 양의 기하학적 넓이가 나옵니다.

신발끈 공식은 좌표를 엇갈리게 교차 곱셈합니다.

계산 예시

꼭짓점이 A(0, 0), B(4, 0), C(0, 3)인 직각삼각형을 생각해 봅시다. 공식에 대입하면 $$A = \frac{1}{2}\left|0(0-3) + 4(3-0) + 0(0-0)\right| = \frac{1}{2}\left|0 + 12 + 0\right| = \frac{1}{2} \times 12 = 6 \text{ 제곱 단위}$$가 됩니다. 이는 \(\text{밑변} \times \text{높이} \div 2 = 4 \times 3 \div 2 = 6\)과 정확히 일치하므로 공식이 옳음을 확인할 수 있습니다.

더 많은 연습 예제

각 예제는 신발끈 공식 \(\text{넓이} = \frac{1}{2}\left|\,x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)\right|\)을 사용합니다. 막대 기호 안의 식(절댓값을 취하기 전)은 부호가 있는 넓이이며, 그 부호는 꼭짓점의 방향을 나타냅니다.

예제 1 — 음수 좌표

꼭짓점 \(A(-4,-2)\), \(B(1,-3)\), \(C(-1,4)\)는 반시계 방향으로 나열되어 있습니다.

$$\begin{aligned}\text{넓이} &= \tfrac12\left|\,(-4)(-3-4) + (1)(4-(-2)) + (-1)((-2)-(-3))\right|\\ &= \tfrac12\left|\,(-4)(-7) + (1)(6) + (-1)(1)\right|\\ &= \tfrac12\left|\,28 + 6 - 1\right| = \tfrac12(33)\end{aligned}$$

넓이는 16.5 제곱단위입니다. 부호가 있는 값 \(+33/2\)이 양수이므로, 꼭짓점은 반시계 방향으로 순서가 정해졌습니다.

예제 2 — 소수 좌표

꼭짓점 \(A(1.5,\,2.0)\), \(B(4.5,\,3.5)\), \(C(2.0,\,6.0)\).

$$\begin{aligned}\text{넓이} &= \tfrac12\left|\,1.5(3.5-6.0) + 4.5(6.0-2.0) + 2.0(2.0-3.5)\right|\\ &= \tfrac12\left|\,1.5(-2.5) + 4.5(4.0) + 2.0(-1.5)\right|\\ &= \tfrac12\left|\,-3.75 + 18.0 - 3.0\right| = \tfrac12(11.25)\end{aligned}$$

넓이는 5.625 제곱단위입니다.

예제 3 — 시계 방향 순서(음수 부호가 있는 넓이)

꼭짓점이 시계 방향으로 나열된 삼각형을 생각해봅시다: \(A(0,0)\), \(B(0,4)\), \(C(6,0)\).

$$\begin{aligned}\text{부호가 있는 넓이} &= \tfrac12\left[\,0(4-0) + 0(0-0) + 6(0-4)\right]\\ &= \tfrac12\left[\,0 + 0 + 6(-4)\right] = \tfrac12(-24) = -12\end{aligned}$$

부호가 있는 넓이는 \(-12\)이며, 음수 부호는 꼭짓점이 시계 방향으로 순서가 정해졌음을 확인해줍니다. 절댓값을 취하면 기하학적 넓이인 12 제곱단위를 얻습니다. 이것은 다리의 길이가 6과 4인 직각삼각형이므로, 같은 답이 \(\tfrac12\,bh = \tfrac12(6)(4) = \) 12에서 나옵니다.

직접 계산하는 방법

1. 꼭짓점을 순서대로 나열합니다. 세 점을 \((x_1,y_1)\), \((x_2,y_2)\), \((x_3,y_3)\)으로 쓰고, 삼각형 주위를 한 방향(시계 방향 또는 반시계 방향)으로 일관되게 이동합니다. 시작 꼭짓점은 중요하지 않지만, 순서는 중요합니다.
2. 신발끈 항에 대입합니다. 세 가지 곱 \(x_1(y_2-y_3)\), \(x_2(y_3-y_1)\), \(x_3(y_1-y_2)\)을 만듭니다. 먼저 각 괄호(두 \(y\) 값의 차)를 계산한 다음 일치하는 \(x\)를 곱합니다.
3. 외적을 합산합니다. 세 항을 모두 더하고 모든 부호를 유지합니다:
   \(S = x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)\).
4. 반으로 나누어 부호가 있는 넓이를 구합니다. \(\dfrac{S}{2}\)를 계산합니다. 이 수는 양수 또는 음수일 수 있으며, 이것이 부호가 있는(방향이 있는) 넓이입니다.
5. 기하학적 넓이를 위해 절댓값을 취합니다. 삼각형의 실제 넓이는 \(\left|\dfrac{S}{2}\right|\)이며, 항상 제곱단위로 표현된 음이 아닌 수입니다.

부호 해석: 양수 부호가 있는 넓이는 꼭짓점이 반시계 방향으로 나열되었음을 의미합니다. 음수 부호가 있는 넓이는 시계 방향으로 나열되었음을 의미합니다. \(S = 0\)이면 세 점은 일직선상에 있으며 "삼각형"은 퇴화되어 있습니다(넓이 0). 기하학적 넓이는 순서와 관계없이 동일합니다. 절댓값 앞의 부호만 변합니다.

정의 & 용어집

꼭짓점

삼각형의 모서리 점입니다. 삼각형은 세 개의 꼭짓점을 가지며, 각각은 여기서 \((x,y)\) 좌표 쌍으로 주어집니다.

데카르트 좌표 쌍

평면 위의 점을 나타내는 순서쌍 \((x,y)\)이며, \(x\)는 원점 \((0,0)\)에서의 수평 거리이고 \(y\)는 수직 거리입니다.

부호가 있는(방향이 있는) 넓이

절댓값을 취하기 전 신발끈 공식에서 나온 값 \(\tfrac12\,S\)입니다. 그 크기는 넓이이고, 그 부호는 꼭짓점이 나열된 방향을 나타냅니다.

방향(시계 방향/반시계 방향)

나열된 꼭짓점의 회전 방향입니다. 반시계 방향(반시계)은 양수 부호가 있는 넓이를 제공하고, 시계 방향(시계)은 음수 부호가 있는 넓이를 제공합니다.

일직선상

단일 직선 위에 있는 세 개 이상의 점입니다. 일직선상의 꼭짓점은 신발끈 합을 0으로 만듭니다.

퇴화 삼각형

세 꼭짓점이 일직선상에 있는 "삼각형"이므로, 선분으로 축소되며 넓이가 0입니다.

제곱단위

넓이의 단위이며, 좌표의 단위의 제곱과 같습니다(예를 들어, 좌표가 미터 단위이면 넓이는 제곱미터 단위이며 m\(^2\)입니다).

자주 묻는 질문

점을 입력하는 순서가 중요한가요? 넓이를 구할 때는 상관없습니다. 절댓값을 취하기 때문에 부호가 사라집니다. 순서는 방향을 나타내는 부호 있는 넓이에만 영향을 줍니다.

넓이가 0이 나오면 무슨 뜻인가요? 세 점이 한 직선 위에 있다는 뜻이며, 따라서 실제 삼각형을 이루지 못합니다.

음수나 소수 좌표도 사용할 수 있나요? 네. 이 공식은 음수와 분수를 포함한 모든 실수 좌표에서 작동합니다.