座標求三角形面積計算機

輸入計算

x₁

y₁

x₂

y₂

x₃

y₃

結果

三角形面積

6

平方單位

有號面積	6
頂點方向	Counter-clockwise
計算方法	鞋帶公式

這個計算機的功能

當你已知三角形三個頂點在直角座標平面上的位置時，這個工具就能直接幫你算出面積。你不必另外量底邊和高，只要把每個頂點以 (x, y) 的形式輸入，計算機就會套用鞋帶公式（Shoelace formula），回傳以平方單位表示的精確面積。

由 xy 平面上三個頂點確定的三角形。

使用方法

依序輸入三個頂點的座標：\((x_1, y_1)\)、\((x_2, y_2)\) 與 \((x_3, y_3)\)，按下計算即可看到面積。結果還會一併顯示有號面積，用來判斷頂點的排列方向：正值代表三點以逆時針排列，負值代表順時針，若為零則表示三點共線，構成退化三角形，沒有面積。

公式解析

鞋帶公式（又稱高斯面積公式）的計算方式，是把座標以交叉相乘的方式配對，就像綁鞋帶一樣交錯穿插：

$$\text{Area} = \frac{1}{2}\left|\, x_1\left(y_2 - y_3\right) + x_2\left(y_3 - y_1\right) + x_3\left(y_1 - y_2\right) \right|$$

每一項都是把一個頂點的 x 值，乘上相鄰兩頂點 y 值的差。把這些項加總後再除以二，得到的是有號面積的兩倍；取絕對值後，就能得到不受頂點排列順序影響的幾何面積。

鞋帶公式將座標交叉相乘。

實際範例

以一個直角三角形為例，三個頂點為 \(A(0, 0)\)、\(B(4, 0)\) 與 \(C(0, 3)\)。代入公式：$$A = \frac{1}{2}\left|\, 0(0-3) + 4(3-0) + 0(0-0) \right| = \frac{1}{2}\left| 0 + 12 + 0 \right| = \frac{1}{2} \times 12 = 6 \text{ 平方單位}$$ 這和直接用「底 \(\times\) 高 \(\div\) 2 \(= 4 \times 3 \div 2 = 6\)」算出來的結果一致，正好驗證了公式的正確性。

更多已解決的例子

每個例子都使用鞋帶公式 \(\text{面積} = \frac{1}{2}\left|\,x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)\right|\)。絕對值符號內的表達式（取絕對值前）是有向面積；其符號告訴你頂點的方向性。

例子 1 — 負坐標

頂點 \(A(-4,-2)\)、\(B(1,-3)\)、\(C(-1,4)\)，按逆時針方向列出。

$$\begin{aligned}\text{面積} &= \tfrac12\left|\,(-4)(-3-4) + (1)(4-(-2)) + (-1)((-2)-(-3))\right|\\ &= \tfrac12\left|\,(-4)(-7) + (1)(6) + (-1)(1)\right|\\ &= \tfrac12\left|\,28 + 6 - 1\right| = \tfrac12(33)\end{aligned}$$

面積是 16.5 平方單位。因為有向值 \(+33/2\) 是正數，所以頂點按逆時針方向排列。

例子 2 — 十進制坐標

頂點 \(A(1.5,\,2.0)\)、\(B(4.5,\,3.5)\)、\(C(2.0,\,6.0)\)。

$$\begin{aligned}\text{面積} &= \tfrac12\left|\,1.5(3.5-6.0) + 4.5(6.0-2.0) + 2.0(2.0-3.5)\right|\\ &= \tfrac12\left|\,1.5(-2.5) + 4.5(4.0) + 2.0(-1.5)\right|\\ &= \tfrac12\left|\,-3.75 + 18.0 - 3.0\right| = \tfrac12(11.25)\end{aligned}$$

面積是 5.625 平方單位。

例子 3 — 順時針順序（負有向面積）

取一個頂點恰好按順時針方向列出的三角形：\(A(0,0)\)、\(B(0,4)\)、\(C(6,0)\)。

$$\begin{aligned}\text{有向面積} &= \tfrac12\left[\,0(4-0) + 0(0-0) + 6(0-4)\right]\\ &= \tfrac12\left[\,0 + 0 + 6(-4)\right] = \tfrac12(-24) = -12\end{aligned}$$

有向面積是 \(-12\)，負號確認頂點按順時針方向排列。取絕對值得到幾何面積，12 平方單位。由於這是一個直角三角形，兩條直角邊分別為 6 和 4，相同的答案來自 \(\tfrac12\,bh = \tfrac12(6)(4) = \) 12。

如何手動計算

1. 按順序列出頂點。將三個點寫成 \((x_1,y_1)\)、\((x_2,y_2)\)、\((x_3,y_3)\)，沿著三角形的一個一致方向（順時針或逆時針）。起點不重要，但順序很重要。
2. 代入鞋帶項。形成三個乘積 \(x_1(y_2-y_3)\)、\(x_2(y_3-y_1)\) 和 \(x_3(y_1-y_2)\)。先計算每個括號（兩個 \(y\) 值的差），然後乘以對應的 \(x\)。
3. 求和叉積。將三項相加，保留所有符號：
   \(S = x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)\)。
4. 減半得到有向面積。計算 \(\dfrac{S}{2}\)。這個數字可以是正的或負的 — 它是有向（定向）面積。
5. 取絕對值得到幾何面積。三角形的實際面積是 \(\left|\dfrac{S}{2}\right|\)，總是一個非負的數字，用平方單位表示。

符號解釋：正的有向面積意味著頂點按逆時針方向列出；負的有向面積意味著它們按順時針方向列出。如果 \(S = 0\)，三個點共線，"三角形"是退化的（面積為零）。幾何面積與順序無關 — 只有絕對值前的符號會改變。

定義與詞彙表

頂點

三角形的一個角點。三角形有三個頂點，每個都在這裡以 \((x,y)\) 坐標對給出。

笛卡兒坐標對

一個有序對 \((x,y)\) 定位平面上的一個點，其中 \(x\) 是水平距離，\(y\) 是從原點 \((0,0)\) 的豎直距離。

有向（定向）面積

鞋帶公式中的值 \(\tfrac12\,S\) 在取絕對值之前。它的大小是面積；它的符號編碼頂點列出的方向。

方向性（順時針 / 逆時針）

列出的頂點的旋轉方向。逆時針（逆時針）給出正的有向面積；順時針（順時針）給出負的有向面積。

共線

三個或更多點位於單一直線上。共線頂點產生鞋帶和為零。

退化三角形

一個"三角形"，其三個頂點共線，因此塌陷成線段，面積為零。

平方單位

面積的單位，等於坐標的單位平方（例如，如果坐標以米為單位，面積以平方米 m\(^2\) 為單位）。

常見問題

頂點的排列順序會影響結果嗎？對面積而言不會——因為取了絕對值，正負號會被消除。順序只會影響有號面積，用來判斷排列方向。

如果算出來面積是零怎麼辦？表示三個點共線，無法構成真正的三角形。

可以輸入負數或小數座標嗎？可以。這個公式適用於任何實數座標，包括負數與分數。