この計算ツールでできること
このツールは、座標平面上にある三角形の3つの頂点の座標がわかっているときに、その面積を求めます。底辺と高さを測る必要はありません。各頂点を(x, y)の組として入力するだけで、靴ひも公式（シューレース公式）によって面積を正確な平方単位で算出します。
使い方
3つの頂点の座標、すなわち\((x_1, y_1)\)、\((x_2, y_2)\)、\((x_3, y_3)\)を入力します。「計算」をクリックすると面積が表示されます。結果には符号付き面積も表示され、これによって頂点の並びの向きがわかります。正の値なら反時計回り、負の値なら時計回り、ゼロの場合は3点が一直線上にあること（面積を持たない退化した三角形）を意味します。
公式の解説
靴ひも公式（ガウスの面積公式とも呼ばれます）は、靴ひもを編み込むように座標を斜めに掛け合わせて面積を求めます。
$$\text{A} = \frac{1}{2}\left|\, x_1\left(y_2 - y_3\right) + x_2\left(y_3 - y_1\right) + x_3\left(y_1 - y_2\right) \right|$$
各項は、ある頂点のx座標に、その両隣の頂点のy座標の差を掛けたものです。これらを足し合わせて2で割ると有向面積の2倍が得られ、絶対値を取れば、頂点の並び順に関係なく純粋な面積が求まります。
計算例
頂点が\(A(0, 0)\)、\(B(4, 0)\)、\(C(0, 3)\)の直角三角形を考えます。代入すると、$$\text{A} = \frac{1}{2}\left|\, 0(0-3) + 4(3-0) + 0(0-0) \right| = \frac{1}{2}\left| 0 + 12 + 0 \right| = \frac{1}{2} \times 12 = 6 \text{ 平方単位}$$これは「底辺 × 高さ ÷ 2 = 4 × 3 ÷ 2 = 6」という計算結果と一致し、公式が正しいことが確認できます。
さらなる解答例
各例は靴紐公式 \(\text{面積} = \frac{1}{2}\left|\,x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)\right|\) を使用します。絶対値を取る前の括弧内の式は符号付き面積です。その符号は頂点の向きを示します。
例1 — 負の座標
頂点 \(A(-4,-2)\), \(B(1,-3)\), \(C(-1,4)\) は反時計回りで列挙されています。
$$\begin{aligned}\text{面積} &= \tfrac12\left|\,(-4)(-3-4) + (1)(4-(-2)) + (-1)((-2)-(-3))\right|\\ &= \tfrac12\left|\,(-4)(-7) + (1)(6) + (-1)(1)\right|\\ &= \tfrac12\left|\,28 + 6 - 1\right| = \tfrac12(33)\end{aligned}$$
面積は 16.5 平方単位です。符号付き値 \(+33/2\) が正であるため、頂点は反時計回りに順序付けられています。
例2 — 小数座標
頂点 \(A(1.5,\,2.0)\), \(B(4.5,\,3.5)\), \(C(2.0,\,6.0)\)。
$$\begin{aligned}\text{面積} &= \tfrac12\left|\,1.5(3.5-6.0) + 4.5(6.0-2.0) + 2.0(2.0-3.5)\right|\\ &= \tfrac12\left|\,1.5(-2.5) + 4.5(4.0) + 2.0(-1.5)\right|\\ &= \tfrac12\left|\,-3.75 + 18.0 - 3.0\right| = \tfrac12(11.25)\end{aligned}$$
面積は 5.625 平方単位です。
例3 — 時計回りの順序（負の符号付き面積）
頂点が時計回りに列挙されている三角形を考えます：\(A(0,0)\), \(B(0,4)\), \(C(6,0)\)。
$$\begin{aligned}\text{符号付き面積} &= \tfrac12\left[\,0(4-0) + 0(0-0) + 6(0-4)\right]\\ &= \tfrac12\left[\,0 + 0 + 6(-4)\right] = \tfrac12(-24) = -12\end{aligned}$$
符号付き面積は \(-12\) であり、負の符号は頂点が時計回りに順序付けられていることを確認しています。絶対値を取ると幾何学的面積が得られます。12 平方単位です。これは脚の長さが6と4の直角三角形であるため、\(\tfrac12\,bh = \tfrac12(6)(4) = \) 12 からも同じ答えが得られます。
手計算での求め方
- 頂点を順番に列挙します。 3つの点を \((x_1,y_1)\), \((x_2,y_2)\), \((x_3,y_3)\) として、三角形の周りを一貫した方向（時計回りまたは反時計回り）で書き出します。開始頂点は関係ありませんが、順序が重要です。
- 靴紐の項に代入します。 3つの積 \(x_1(y_2-y_3)\), \(x_2(y_3-y_1)\), \(x_3(y_1-y_2)\) を作ります。各括弧（2つの \(y\) 値の差）をまず計算し、対応する \(x\) で乗算します。
- 外積を合計します。 3つの項を一緒に加算して、すべての符号を保持します：
\(S = x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)\)。 - 符号付き面積を得るために2で割ります。 \(\dfrac{S}{2}\) を計算します。この数値は正または負のいずれかであり、符号付き（有向）面積です。
- 幾何学的面積を得るために絶対値を取ります。 三角形の実際の面積は \(\left|\dfrac{S}{2}\right|\) で、常に負でない数値で平方単位で表されます。
符号の解釈： 正の符号付き面積は頂点が反時計回りで列挙されていることを意味します。負の符号付き面積は時計回りで列挙されていることを意味します。\(S = 0\) の場合、3つの点は一直線上にあり、「三角形」は縮退しています（面積ゼロ）。幾何学的面積は順序に関係なく同じです。絶対値の前の符号のみが変わります。
定義と用語集
- 頂点
- 三角形の角の点です。三角形は3つの頂点を持ち、各頂点は \((x,y)\) 座標ペアで与えられます。
- デカルト座標ペア
- 平面上の点の位置を表す順序付きペア \((x,y)\) で、\(x\) は水平距離、\(y\) は原点 \((0,0)\) からの垂直距離です。
- 符号付き（有向）面積
- 絶対値を取る前の靴紐公式から得られる値 \(\tfrac12\,S\) です。その大きさは面積であり、その符号は頂点が列挙される方向をエンコードしています。
- 向き（時計回り / 反時計回り）
- 列挙された頂点の回転方向です。反時計回り（反時計回り）は正の符号付き面積を与え、時計回りは負の符号付き面積を与えます。
- 一直線上にある
- 3つ以上の点が単一の直線上にあります。一直線上の頂点は靴紐合計がゼロになります。
- 縮退三角形
- 3つの頂点が一直線上にある「三角形」で、線分に縮退し、面積がゼロです。
- 平方単位
- 面積の単位で、座標の単位の2乗に等しい（例えば、座標がメートル単位の場合、面積は平方メートル（m\(^2\)）単位です）。
よくある質問
頂点を入力する順番は関係ありますか？ 面積については関係ありません。絶対値を取るため符号は消えます。順番が影響するのは符号付き面積だけで、これは向きを示します。
面積がゼロになったらどうなりますか？ 3点が一直線上に並んでいる（共線である）ため、本当の意味での三角形を形成していません。
負の数や小数の座標も使えますか？ はい。この公式は、負の数や分数を含むあらゆる実数の座標に対応しています。
