Tính Diện Tích Tam Giác Từ Tọa Độ Các Đỉnh

Nhập phép tính

x₁

y₁

x₂

y₂

x₃

y₃

Kết quả

Diện tích tam giác

6

đơn vị diện tích

Diện tích có dấu	6
Chiều sắp xếp	Counter-clockwise
Phương pháp	Công thức Shoelace

Công cụ này làm gì?

Công cụ này giúp bạn tính diện tích của một tam giác khi đã biết tọa độ ba đỉnh trên mặt phẳng tọa độ Descartes. Thay vì phải đo đáy và chiều cao, bạn chỉ cần nhập từng điểm dưới dạng cặp (x, y), công cụ sẽ áp dụng công thức Shoelace để cho ra diện tích chính xác tính bằng đơn vị diện tích.

Một tam giác xác định bởi ba đỉnh trên mặt phẳng xy.

Cách sử dụng

Hãy nhập tọa độ của ba đỉnh: \((x_1, y_1)\), \((x_2, y_2)\) và \((x_3, y_3)\), rồi bấm nút tính để xem kết quả. Ngoài diện tích, công cụ còn hiển thị diện tích có dấu — giá trị này cho biết chiều sắp xếp của các điểm: số dương nghĩa là ba đỉnh được liệt kê theo chiều ngược kim đồng hồ, số âm là theo chiều kim đồng hồ, còn bằng 0 nghĩa là ba điểm nằm thẳng hàng (tam giác suy biến, không có diện tích).

Giải thích công thức

Công thức Shoelace (còn gọi là công thức diện tích Gauss) tính diện tích bằng cách nhân chéo các tọa độ theo kiểu đan xen, giống như cách buộc dây giày:

$$\text{A} = \frac{1}{2}\left|\, x_1\left(y_2 - y_3\right) + x_2\left(y_3 - y_1\right) + x_3\left(y_1 - y_2\right) \right|$$

Mỗi số hạng ghép hoành độ x của một đỉnh với hiệu các tung độ y của hai đỉnh kề bên. Cộng các số hạng lại rồi chia đôi sẽ cho ta diện tích có hướng (đã nhân đôi); lấy giá trị tuyệt đối sẽ ra diện tích hình học, bất kể thứ tự sắp xếp các điểm ra sao.

Phương pháp dây giày nhân chéo các tọa độ theo hình đan xen.

Ví dụ minh họa

Xét một tam giác vuông có các đỉnh A(0, 0), B(4, 0) và C(0, 3). Thay vào công thức: $$\text{A} = \frac{1}{2}\left|0(0-3) + 4(3-0) + 0(0-0)\right| = \frac{1}{2}\left|0 + 12 + 0\right| = \frac{1}{2} \times 12 = 6$$ đơn vị diện tích. Kết quả này khớp với cách tính quen thuộc đáy × chiều cao ÷ 2 = \(4 \times 3 \div 2 = 6\), xác nhận công thức là đúng.

Các ví dụ làm việc khác

Mỗi ví dụ sử dụng công thức Shoelace \(\text{Diện tích} = \frac{1}{2}\left|\,x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)\right|\). Biểu thức trong các dấu thanh (trước khi lấy giá trị tuyệt đối) là diện tích có dấu; dấu của nó cho bạn biết hướng của các đỉnh.

Ví dụ 1 — Tọa độ âm

Các đỉnh \(A(-4,-2)\), \(B(1,-3)\), \(C(-1,4)\), được liệt kê ngược chiều kim đồng hồ.

$$\begin{aligned}\text{Diện tích} &= \tfrac12\left|\,(-4)(-3-4) + (1)(4-(-2)) + (-1)((-2)-(-3))\right|\\ &= \tfrac12\left|\,(-4)(-7) + (1)(6) + (-1)(1)\right|\\ &= \tfrac12\left|\,28 + 6 - 1\right| = \tfrac12(33)\end{aligned}$$

Diện tích là 16,5 đơn vị vuông. Vì giá trị có dấu \(+33/2\) là dương, các đỉnh được sắp xếp theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ.

Ví dụ 2 — Tọa độ thập phân

Các đỉnh \(A(1.5,\,2.0)\), \(B(4.5,\,3.5)\), \(C(2.0,\,6.0)\).

$$\begin{aligned}\text{Diện tích} &= \tfrac12\left|\,1.5(3.5-6.0) + 4.5(6.0-2.0) + 2.0(2.0-3.5)\right|\\ &= \tfrac12\left|\,1.5(-2.5) + 4.5(4.0) + 2.0(-1.5)\right|\\ &= \tfrac12\left|\,-3.75 + 18.0 - 3.0\right| = \tfrac12(11.25)\end{aligned}$$

Diện tích là 5,625 đơn vị vuông.

Ví dụ 3 — Thứ tự chiều kim đồng hồ (diện tích có dấu âm)

Lấy một tam giác có các đỉnh được liệt kê theo chiều kim đồng hồ: \(A(0,0)\), \(B(0,4)\), \(C(6,0)\).

$$\begin{aligned}\text{diện tích có dấu} &= \tfrac12\left[\,0(4-0) + 0(0-0) + 6(0-4)\right]\\ &= \tfrac12\left[\,0 + 0 + 6(-4)\right] = \tfrac12(-24) = -12\end{aligned}$$

Diện tích có dấu là \(-12\), và dấu âm xác nhận các đỉnh được sắp xếp theo chiều kim đồng hồ. Lấy giá trị tuyệt đối cho diện tích hình học, 12 đơn vị vuông. Vì đây là tam giác vuông với hai cạnh góc vuông 6 và 4, cùng một đáp án có được từ \(\tfrac12\,bh = \tfrac12(6)(4) = \) 12.

Cách tính toán bằng tay

1. Liệt kê các đỉnh theo thứ tự. Viết ba điểm dưới dạng \((x_1,y_1)\), \((x_2,y_2)\), \((x_3,y_3)\), đi quanh tam giác theo một hướng nhất quán (theo chiều kim đồng hồ hoặc ngược chiều kim đồng hồ). Đỉnh bắt đầu không quan trọng, nhưng thứ tự rất quan trọng.
2. Thay thế vào các số hạng Shoelace. Tạo thành ba tích \(x_1(y_2-y_3)\), \(x_2(y_3-y_1)\), và \(x_3(y_1-y_2)\). Tính toán mỗi dấu ngoặc (một hiệu của hai giá trị \(y\)) trước tiên, sau đó nhân với \(x\) tương ứng.
3. Cộng các tích chéo. Cộng ba số hạng lại với nhau, giữ lại tất cả các dấu:
   \(S = x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)\).
4. Chia đôi để được diện tích có dấu. Tính \(\dfrac{S}{2}\). Số này có thể dương hoặc âm — nó là diện tích có dấu (có hướng).
5. Lấy giá trị tuyệt đối cho diện tích hình học. Diện tích thực tế của tam giác là \(\left|\dfrac{S}{2}\right|\), luôn là một số không âm được biểu thị bằng đơn vị vuông.

Giải thích dấu: diện tích có dấu dương có nghĩa là các đỉnh được liệt kê ngược chiều kim đồng hồ; diện tích có dấu âm có nghĩa là chúng được liệt kê theo chiều kim đồng hồ. Nếu \(S = 0\), ba điểm thẳng hàng và "tam giác" là suy biến (diện tích bằng không). Diện tích hình học giống hệt nhau bất kể thứ tự — chỉ dấu trước giá trị tuyệt đối thay đổi.

Định nghĩa & Thuật ngữ

Đỉnh

Một điểm góc của tam giác. Một tam giác có ba đỉnh, mỗi đỉnh được cho ở đây dưới dạng một cặp tọa độ \((x,y)\).

Cặp tọa độ Descartes

Một cặp có thứ tự \((x,y)\) xác định vị trí của một điểm trên một mặt phẳng, trong đó \(x\) là khoảng cách ngang và \(y\) là khoảng cách dọc từ gốc tọa độ \((0,0)\).

Diện tích có dấu (có hướng)

Giá trị \(\tfrac12\,S\) từ công thức Shoelace trước khi lấy giá trị tuyệt đối. Độ lớn của nó là diện tích; dấu của nó mã hóa hướng trong đó các đỉnh được liệt kê.

Hướng (CW / CCW)

Hướng quay của các đỉnh được liệt kê. Ngược chiều kim đồng hồ (CCW) cho diện tích có dấu dương; chiều kim đồng hồ (CW) cho diện tích có dấu âm.

Thẳng hàng

Ba hay nhiều điểm nằm trên một đường thẳng duy nhất. Các đỉnh thẳng hàng tạo ra một tổng Shoelace bằng không.

Tam giác suy biến

Một "tam giác" có ba đỉnh thẳng hàng, vì vậy nó sụp đổ thành một đoạn thẳng và có diện tích bằng không.

Đơn vị vuông

Đơn vị diện tích, bằng đơn vị của tọa độ bình phương (ví dụ, nếu tọa độ tính bằng mét, thì diện tích tính bằng mét vuông, m\(^2\)).

Câu hỏi thường gặp

Thứ tự các điểm có quan trọng không? Không quan trọng đối với diện tích, vì giá trị tuyệt đối đã loại bỏ dấu. Thứ tự chỉ ảnh hưởng đến diện tích có dấu, dùng để xác định chiều của tam giác.

Nếu diện tích bằng 0 thì sao? Khi đó ba điểm nằm thẳng hàng, nên chúng không tạo thành một tam giác thực sự.

Tôi có thể dùng tọa độ âm hoặc số thập phân không? Hoàn toàn được. Công thức áp dụng cho mọi tọa độ là số thực, bao gồm cả số âm và số thập phân.