यह कैलकुलेटर क्या करता है

जब आपको कार्तीय तल (Cartesian plane) पर किसी त्रिभुज के तीनों कोनों यानी शीर्षों के निर्देशांक पता हों, तो यह टूल उसका क्षेत्रफल निकाल देता है। आधार और ऊँचाई नापने की झंझट के बजाय आप बस हर बिंदु को एक (x, y) जोड़े के रूप में डालिए, और कैलकुलेटर शूलेस फ़ॉर्मूला लगाकर वर्ग इकाइयों में सटीक क्षेत्रफल बता देता है।

तीन नामांकित शीर्षों के साथ निर्देशांक ग्रिड पर बनाया गया त्रिभुज — xy-तल पर तीन शीर्षों से बना एक त्रिभुज।

इसका इस्तेमाल कैसे करें

तीनों शीर्षों के निर्देशांक डालें: $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$। क्षेत्रफल देखने के लिए "कैलकुलेट करें" पर क्लिक करें। नतीजे में चिह्नित (signed) क्षेत्रफल भी दिखता है, जो बिंदुओं की दिशा बताता है: धनात्मक मान का मतलब है कि शीर्ष वामावर्त (counter-clockwise) क्रम में हैं, ऋणात्मक मान का मतलब दक्षिणावर्त (clockwise), और शून्य का मतलब है कि तीनों बिंदु एक ही सीधी रेखा पर हैं — यानी ऐसा अपभ्रष्ट (degenerate) त्रिभुज जिसका कोई क्षेत्रफल नहीं होता।

फ़ॉर्मूला समझें

शूलेस फ़ॉर्मूला (जिसे गॉस का क्षेत्रफल फ़ॉर्मूला भी कहते हैं) निर्देशांकों को आड़े-तिरछे क्रॉस-गुणन से जोड़कर क्षेत्रफल निकालता है — ठीक वैसे ही जैसे जूते के फीते बाँधे जाते हैं:

$$A = \frac{1}{2}\left|\, x_1\left(y_2 - y_3\right) + x_2\left(y_3 - y_1\right) + x_3\left(y_1 - y_2\right) \right|$$

हर पद में एक शीर्ष के x को उसके पड़ोसी शीर्षों के y के अंतर से गुणा किया जाता है। इन सबको जोड़कर आधा करने पर दिशात्मक क्षेत्रफल का दोगुना मिलता है; निरपेक्ष मान (absolute value) लेने पर बिंदुओं के क्रम की परवाह किए बिना ज्यामितीय क्षेत्रफल मिल जाता है।

त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांकों के बीच क्रॉस-गुणन दर्शाता शूलेस पैटर्न — शूलेस विधि निर्देशांकों को आड़े-तिरछे क्रम में आपस में गुणा करती है।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए एक समकोण त्रिभुज है जिसके शीर्ष A(0, 0), B(4, 0) और C(0, 3) हैं। मान रखने पर: $$A = \frac{1}{2}\left|0(0-3) + 4(3-0) + 0(0-0)\right| = \frac{1}{2}\left|0 + 12 + 0\right| = \frac{1}{2} \times 12 = 6 \text{ वर्ग इकाई}$$ यह आधार $\times$ ऊँचाई $\div$ 2 $= 4 \times 3 \div 2 = 6$ के साधारण नतीजे से मेल खाता है, जिससे फ़ॉर्मूला सही साबित होता है।

अधिक कार्य किए गए उदाहरण

प्रत्येक उदाहरण शूलेस सूत्र $\text{क्षेत्र} = \frac{1}{2}\left|\,x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)\right|$ का उपयोग करता है। पट्टियों के अंदर की अभिव्यक्ति (निरपेक्ष मान लेने से पहले) हस्ताक्षरित क्षेत्र है; इसका चिह्न आपको शीर्षों के अभिविन्यास को बताता है।

उदाहरण 1 — नकारात्मक निर्देशांक

शीर्ष $A(-4,-2)$, $B(1,-3)$, $C(-1,4)$, वामावर्त क्रम में सूचीबद्ध।

$$\begin{aligned}\text{क्षेत्र} &= \tfrac12\left|\,(-4)(-3-4) + (1)(4-(-2)) + (-1)((-2)-(-3))\right|\\ &= \tfrac12\left|\,(-4)(-7) + (1)(6) + (-1)(1)\right|\\ &= \tfrac12\left|\,28 + 6 - 1\right| = \tfrac12(33)\end{aligned}$$

क्षेत्र 16.5 वर्ग इकाई है। चूँकि हस्ताक्षरित मान $+33/2$ धनात्मक है, शीर्षों को वामावर्त क्रम में सूचीबद्ध किया गया है।

उदाहरण 2 — दशमलव निर्देशांक

शीर्ष $A(1.5,\,2.0)$, $B(4.5,\,3.5)$, $C(2.0,\,6.0)$।

$$\begin{aligned}\text{क्षेत्र} &= \tfrac12\left|\,1.5(3.5-6.0) + 4.5(6.0-2.0) + 2.0(2.0-3.5)\right|\\ &= \tfrac12\left|\,1.5(-2.5) + 4.5(4.0) + 2.0(-1.5)\right|\\ &= \tfrac12\left|\,-3.75 + 18.0 - 3.0\right| = \tfrac12(11.25)\end{aligned}$$

क्षेत्र 5.625 वर्ग इकाई है।

उदाहरण 3 — दक्षिणावर्त क्रम (नकारात्मक हस्ताक्षरित क्षेत्र)

एक त्रिभुज लें जिसके शीर्षों को दक्षिणावर्त क्रम में सूचीबद्ध किया गया है: $A(0,0)$, $B(0,4)$, $C(6,0)$।

$$\begin{aligned}\text{हस्ताक्षरित क्षेत्र} &= \tfrac12\left[\,0(4-0) + 0(0-0) + 6(0-4)\right]\\ &= \tfrac12\left[\,0 + 0 + 6(-4)\right] = \tfrac12(-24) = -12\end{aligned}$$

हस्ताक्षरित क्षेत्र $-12$ है, और नकारात्मक चिह्न पुष्टि करता है कि शीर्षों को दक्षिणावर्त क्रम में सूचीबद्ध किया गया है। निरपेक्ष मान लेने से ज्यामितीय क्षेत्र मिलता है, 12 वर्ग इकाई। चूँकि यह 6 और 4 भुजाओं वाला एक समकोण त्रिभुज है, वही उत्तर $\tfrac12\,bh = \tfrac12(6)(4) = $ 12 से मिलता है।

हाथ से इसकी गणना कैसे करें

शीर्षों को क्रम में सूचीबद्ध करें। तीन बिंदुओं को $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$, $(x_3,y_3)$ के रूप में लिखें, त्रिभुज के चारों ओर एक सुसंगत दिशा में जाते हुए (या तो दक्षिणावर्त या वामावर्त)। प्रारंभिक शीर्ष महत्वपूर्ण नहीं है, लेकिन क्रम महत्वपूर्ण है।
शूलेस पदों में प्रतिस्थापित करें। तीन गुणनफल $x_1(y_2-y_3)$, $x_2(y_3-y_1)$, और $x_3(y_1-y_2)$ बनाएँ। पहले प्रत्येक कोष्ठक (दो $y$-मानों का अंतर) की गणना करें, फिर मिलान करने वाले $x$ से गुणा करें।
क्रॉस गुणनफल को जोड़ें। तीन पदों को एक साथ जोड़ें, सभी चिह्नों को रखते हुए:
$S = x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)$।
हस्ताक्षरित क्षेत्र प्राप्त करने के लिए आधा करें। $\dfrac{S}{2}$ की गणना करें। यह संख्या धनात्मक या नकारात्मक हो सकती है — यह हस्ताक्षरित (निर्दिष्ट) क्षेत्र है।
ज्यामितीय क्षेत्र के लिए निरपेक्ष मान लें। त्रिभुज का वास्तविक क्षेत्र $\left|\dfrac{S}{2}\right|$ है, हमेशा एक गैर-नकारात्मक संख्या वर्ग इकाइयों में व्यक्त की जाती है।

चिह्न की व्याख्या करना: एक धनात्मक हस्ताक्षरित क्षेत्र का अर्थ है कि शीर्षों को वामावर्त क्रम में सूचीबद्ध किया गया था; एक नकारात्मक हस्ताक्षरित क्षेत्र का अर्थ है कि वे दक्षिणावर्त क्रम में सूचीबद्ध थे। यदि $S = 0$, तीन बिंदु संरेखी हैं और "त्रिभुज" अपभ्रष्ट है (शून्य क्षेत्र)। ज्यामितीय क्षेत्र क्रम की परवाह किए बिना समान है — केवल निरपेक्ष मान से पहले चिह्न बदलता है।

परिभाषाएँ और शब्दावली

शीर्ष: त्रिभुज का एक कोने वाला बिंदु। एक त्रिभुज के तीन शीर्ष होते हैं, प्रत्येक यहाँ एक $(x,y)$ निर्देशांक युग्म के रूप में दिया गया है।
कार्तीय निर्देशांक युग्म: एक क्रमबद्ध युग्म $(x,y)$ जो एक समतल पर एक बिंदु को स्थित करता है, जहाँ $x$ क्षैतिज दूरी है और $y$ मूल $(0,0)$ से ऊर्ध्वाधर दूरी है।
हस्ताक्षरित (निर्दिष्ट) क्षेत्र: शूलेस सूत्र से $\tfrac12\,S$ का मान निरपेक्ष मान लेने से पहले। इसका परिमाण क्षेत्र है; इसका चिह्न उस दिशा को कूटबद्ध करता है जिसमें शीर्षों को सूचीबद्ध किया गया है।
अभिविन्यास (दक्षिणावर्त / वामावर्त): सूचीबद्ध शीर्षों की घूर्णन दिशा। वामावर्त (वामावर्त) एक धनात्मक हस्ताक्षरित क्षेत्र देता है; दक्षिणावर्त (दक्षिणावर्त) एक नकारात्मक हस्ताक्षरित क्षेत्र देता है।
संरेखी: तीन या अधिक बिंदु जो एक ही सीधी रेखा पर स्थित हैं। संरेखी शीर्ष शूलेस योग को शून्य देते हैं।
अपभ्रष्ट त्रिभुज: एक "त्रिभुज" जिसके तीन शीर्ष संरेखी हैं, इसलिए यह एक रेखा खंड में ढह जाता है और शून्य क्षेत्र है।
वर्ग इकाई: क्षेत्र की इकाई, निर्देशांक की इकाई के वर्ग के बराबर (उदाहरण के लिए, यदि निर्देशांक मीटर में हैं, तो क्षेत्र वर्ग मीटर में है, m$^2$)।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

क्या बिंदुओं का क्रम मायने रखता है? क्षेत्रफल के लिए नहीं — निरपेक्ष मान हर चिह्न को हटा देता है। क्रम सिर्फ़ चिह्नित क्षेत्रफल पर असर डालता है, जो दिशा बताता है।

अगर क्षेत्रफल शून्य आए तो? इसका मतलब तीनों बिंदु एक ही रेखा पर (collinear) हैं, इसलिए वे कोई वास्तविक त्रिभुज नहीं बनाते।

क्या मैं ऋणात्मक या दशमलव निर्देशांक डाल सकता हूँ? हाँ। यह फ़ॉर्मूला किसी भी वास्तविक संख्या वाले निर्देशांकों के लिए काम करता है, चाहे वे ऋणात्मक हों या भिन्न।

निर्देशांक से त्रिभुज का क्षेत्रफल कैलकुलेटर

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