Calculateur d'amplitude, de période et de fréquence

Entrez le calcul

A (coefficient d'amplitude)

B (coefficient de pulsation)

C (coefficient de déphasage)

D (décalage vertical)

Résultats

Période

3,1416

unités (radians sur l'axe x)

Amplitude	3
Fréquence	0,31831
Déphasage (−C/B)	-0
Axe médian (y = D)	0

À quoi sert ce calculateur

Cet outil analyse n'importe quelle fonction sinusoïdale écrite sous la forme canonique \(y = A\sin(Bx + C) + D\) (les mêmes règles s'appliquent au cosinus). À partir des quatre coefficients, il déduit l'amplitude, la période, la fréquence, le déphasage horizontal et l'axe médian vertical — les caractéristiques essentielles pour tracer une onde ou la décrire.

Comment l'utiliser

Saisissez le coefficient A (qui multiplie la fonction trigonométrique), B (qui multiplie x à l'intérieur de la fonction), C (la constante ajoutée à l'intérieur) et D (la constante ajoutée à l'extérieur). Laissez C et D à 0 si votre fonction ne comporte aucun décalage. Cliquez sur « Calculer » pour afficher les cinq caractéristiques.

Les formules expliquées

L'amplitude vaut \(|A|\) : c'est l'écart maximal entre la courbe et son axe médian, vers le haut comme vers le bas. La période $$T = \frac{2\pi}{|B|}$$ correspond à la longueur horizontale d'un cycle complet, tandis que la fréquence $$f = \frac{|B|}{2\pi}$$ indique le nombre de cycles par unité de x — les deux grandeurs sont inverses l'une de l'autre. Le déphasage est égal à \(-\frac{C}{B}\) (une valeur positive traduit un décalage vers la droite). L'axe médian est la droite horizontale \(y = D\) autour de laquelle l'onde oscille.

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Caractéristiques clés de \(y = A\sin(Bx + C) + D\) sur une sinusoïde.

Exemple résolu

Pour \(y = 3\sin(2x)\) : \(A = 3\), \(B = 2\), \(C = 0\), \(D = 0\). Amplitude \(= |3| = 3\).

$$\text{Période} = \frac{2\pi}{|2|} = \pi \approx 3{,}1416$$$$\text{Fréquence} = \frac{|2|}{2\pi} = \frac{1}{\pi} \approx 0{,}31831$$

Déphasage \(= -\frac{0}{2} = 0\). Axe médian \(= 0\). Cette onde oscille donc entre \(-3\) et \(3\) et accomplit un cycle complet tous les \(\pi\) unités.

Modifier A étire la courbe verticalement ; modifier B change la vitesse des cycles.

Plus d'exemples résolus

Pour toute sinusoïde écrite sous la forme \(y = A\sin(Bx + C) + D\) (une cosinus fonctionne de manière identique), les cinq quantités clés sont l'amplitude \(|A|\), la période \(T = \dfrac{2\pi}{|B|}\), la fréquence \(f = \dfrac{|B|}{2\pi}\), le décalage de phase \(-\dfrac{C}{B}\), et la ligne médiane \(y = D\).

Exemple 1 — Une fonction cosinus : \(y = 3\cos(2x)\)

Ici \(A = 3\), \(B = 2\), \(C = 0\), \(D = 0\).

1. Amplitude : \(|A| = |3| = 3\).
2. Période : \(T = \dfrac{2\pi}{|B|} = \dfrac{2\pi}{2} = \)\(\pi\).
3. Fréquence : \(f = \dfrac{|B|}{2\pi} = \dfrac{2}{2\pi} = \dfrac{1}{\pi} \approx 0,318\) cycles par unité.
4. Décalage de phase : \(-\dfrac{C}{B} = -\dfrac{0}{2} = 0\) (aucun décalage horizontal).
5. Ligne médiane : \(y = D = 0\).

Le graphique est une cosinus oscillant entre \(-3\) et \(3\), complétant un cycle tous les \(\pi\) unités.

Exemple 2 — Décalage de phase et ligne médiane : \(y = 2\sin\!\left(3x + \dfrac{\pi}{2}\right) + 4\)

Ici \(A = 2\), \(B = 3\), \(C = \dfrac{\pi}{2}\), \(D = 4\).

1. Amplitude : \(|A| = 2\).
2. Période : \(T = \dfrac{2\pi}{|B|} = \dfrac{2\pi}{3} \approx 2,094\).
3. Fréquence : \(f = \dfrac{|B|}{2\pi} = \dfrac{3}{2\pi} \approx 0,477\).
4. Décalage de phase : \(-\dfrac{C}{B} = -\dfrac{\pi/2}{3} = -\dfrac{\pi}{6} \approx -0,524\) (décalé vers la gauche de \(\tfrac{\pi}{6}\)).
5. Ligne médiane : \(y = D = 4\) ; l'onde oscille entre \(4-2 = 2\) et \(4+2 = 6\).

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Définitions et glossaire

Coefficient A (étirement vertical)

Le nombre multipliant le sinus ou le cosinus. Sa valeur absolue détermine la hauteur de l'onde ; un \(A\) négatif réfléchit également la courbe à travers la ligne médiane.

Amplitude \(|A|\)

La distance maximale de la ligne médiane à un sommet (ou creux), toujours non négative : \(\text{amplitude} = |A|\). La courbe varie de \(D-|A|\) à \(D+|A|\).

Coefficient B (fréquence angulaire)

Le nombre multipliant \(x\) à l'intérieur de la fonction trigonométrique. Un \(|B|\) plus grand compresse l'onde horizontalement, produisant plus de cycles par unité.

Période \(T = \dfrac{2\pi}{|B|}\)

La longueur horizontale d'un cycle complet. Elle dépend uniquement de \(|B|\), et non de \(A\), \(C\), ou \(D\).

Fréquence \(f = \dfrac{|B|}{2\pi} = \dfrac{1}{T}\)

Le nombre de cycles complets par unité de \(x\) — l'inverse de la période.

Coefficient C (terme de phase)

La constante ajoutée à l'intérieur de l'argument trigonométrique. Combinée avec \(B\), elle détermine le déplacement horizontal de l'onde.

Décalage de phase \(-\dfrac{C}{B}\)

La distance de décalage horizontal de la courbe. Un résultat positif décale vers la droite ; un résultat négatif décale vers la gauche. (En factorisant \(Bx + C = B(x + C/B)\), on révèle le décalage.)

Coefficient D (décalage vertical)

La constante ajoutée à l'extérieur de la fonction trigonométrique, élevant ou abaissant l'onde entière.

Ligne médiane \(y = D\)

La ligne horizontale autour de laquelle l'onde oscille, située à mi-distance entre les valeurs maximale et minimale.

FAQ

Cela fonctionne-t-il pour les fonctions cosinus ? Oui. Les formules de l'amplitude, de la période et de la fréquence sont identiques pour le sinus et le cosinus ; seul le point de départ change.

Et si B est négatif ? La période et la fréquence utilisent \(|B|\), donc un B négatif donne la même période — il se contente d'inverser le graphe horizontalement.

Pourquoi le déphasage vaut-il \(-\frac{C}{B}\) et non C ? En factorisant \(Bx + C = B(x + \frac{C}{B})\), on voit que la translation horizontale est \(-\frac{C}{B}\), et non la constante brute C.