この計算機でできること
このツールは、標準形 \(y = a\,\sin(bx - c) + d\) で表される三角関数（正弦波）を解析します。コサイン（余弦）でもまったく同じように使えます。4つの係数 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) を入力すると、波の重要な4つの変換、つまり「振幅」「周期」「位相のずれ」「上下移動」、さらに「周波数」を瞬時に求められます。
使い方
関数に書かれているとおりに係数を入力してください。たとえば \(y = 2\,\sin(3x - 1)\) の場合は、\(a = 2\)、\(b = 3\)、\(c = 1\)、\(d = 0\) と入力します。負の数や小数にも対応しています。もし関数が \(a\,\sin(b(x - h))\) の形で書かれている場合は、展開して \(c = b\,h\) としてから入力してください。
計算式の意味
振幅は \(|a|\) で、波が中心線（ミッドライン）から上下に振れる最大の幅を表します。周期は \(\frac{2\pi}{|b|}\) で、波が1サイクルを完了するまでの横方向の長さです。\(|b|\) が大きいほど波は横に圧縮されます。位相のずれは \(\frac{c}{b}\) で、グラフの横方向の移動量を表し、正の値ならグラフは右へ移動します。上下移動の \(d\) は中心線を上下にずらします。周波数は周期の逆数です。
計算例
\(y = 2\,\sin(3x - 1)\) を考えてみましょう。 $$\text{振幅} = |2| = 2$$ $$\text{周期} = \frac{2\pi}{3} \approx 2.0944$$ $$\text{位相のずれ} = \frac{1}{3} \approx 0.3333 \;(\text{右へ})$$ 上下移動 \(= 0\)。つまりこの波は x 軸を中心に上下2単位で振動し、約 2.09 単位ごとに1サイクルを完了し、右へおよそ3分の1単位ずれています。
主要な用語の定義
- 振幅 \((|a|)\)
- 波の最大値と最小値の間の鉛直距離の半分—中線より上のピークの高さです。常に \(a\) の絶対値に等しく、負の \(a\) は曲線を中線で反射させますが、振幅は変わりません。
- 周期 \(\left(\tfrac{2\pi}{|b|}\right)\)
- 1つの完全な周期の水平方向の長さです。より大きい \(|b|\) は波を圧縮し（周期が短い）、より小さい \(|b|\) は波を伸ばします（周期が長い）。
- 位相シフト \(\left(\tfrac{c}{b}\right)\)
- 曲線の水平方向の変位です。正の値は グラフを右へシフトし、負の値は左へシフトします。\(c/b\) であり、単に \(c\) ではないことに注意してください。
- 鉛直シフト / 中線 \((d)\)
- 波が振動する水平線 \(y = d\) です。\(d>0\) でグラフは上へ移動し、\(d<0\) で下へ移動します。
- 周波数 \(\left(\tfrac{|b|}{2\pi}\right)\)
- \(x\) の単位あたりの完全な周期の数。周期の逆数です。\(x\) が時間である物理的文脈では、これは毎秒の周期数（ヘルツ）で測定されます。
- 角周波数 \((b)\)
- \(x\) の係数で、\(x\) の単位あたりのラジアンで表現されます。\(b = 2\pi f\) によって通常の周波数に関連し、サイン関数の引数がどの程度速く進むかを決定します。
- 係数 \(a, b, c, d\)
- \(y = a\sin(bx - c)+d\) において：\(a\) は鉛直方向の伸縮と振幅を設定し、\(b\) は水平方向の圧縮（周期/周波数）を設定し、\(c\) は \(c/b\) を通じて水平方向の位相シフトを制御し、\(d\) は中線の鉛直位置を設定します。
その他の実例
例1：\(y = -4\cos(2x + \pi) + 1\)
コサインで書かれていますが、同じ変換規則が適用されます。\(2x+\pi\) を \(2x-(-\pi)\) として書き直すことで \(a\cos(bx - c)+d\) に合わせると、\(a=-4,\ b=2,\ c=-\pi,\ d=1\) になります。
- 振幅： \(|a| = |-4| = 4\)。負の符号は曲線を反射させますが、振幅は4です。
- 周期： \(\dfrac{2\pi}{|b|} = \dfrac{2\pi}{2} = \pi\)。
- 位相シフト： \(\dfrac{c}{b} = \dfrac{-\pi}{2} = -\dfrac{\pi}{2}\)、つまり左に \(\tfrac{\pi}{2}\)。
- 鉛直シフト： \(d = 1\)。中線は \(y = 1\) です。
例2：\(y = 2\sin(0.5x - 1.5) - 3\)
ここで \(a=2,\ b=0.5,\ c=1.5,\ d=-3\)。
- 振幅： \(|a| = 2\)。
- 周期： \(\dfrac{2\pi}{0.5} = 4\pi \approx 12.566\)。
- 位相シフト： \(\dfrac{1.5}{0.5} = 3\)、つまり右に3。
- 鉛直シフト： \(d = -3\)。中線は \(y = -3\) です。
例3：\(y = \tfrac{3}{4}\sin(3x - \tfrac{\pi}{2})\)
分数の振幅を持つケースで、\(a=\tfrac34,\ b=3,\ c=\tfrac{\pi}{2},\ d=0\)。
- 振幅： \(|a| = \tfrac34 = 0.75\)。
- 周期： \(\dfrac{2\pi}{3} \approx 2.094\)。
- 位相シフト： \(\dfrac{\pi/2}{3} = \dfrac{\pi}{6} \approx 0.524\)、つまり右に約0.524。
- 鉛直シフト： \(d = 0\)。中線は \(x\) 軸です。
この曲線の単一の出力値を確認できます—例えば \(x=\tfrac{\pi}{2}\) では、\(y = \tfrac34\sin(3\cdot\tfrac{\pi}{2} - \tfrac{\pi}{2}) = \tfrac34\sin(\pi) = \)0。
よくある質問
コサインでも使えますか？ はい。\(y = a\,\cos(bx - c) + d\) についても、振幅・周期・位相のずれ・上下移動はまったく同じ方法で計算できます。
c が正の数なのに、なぜ位相のずれも正になるのですか？ \(bx - c\) の形では、ずれ \(\frac{c}{b}\) はグラフを右へ移動させます。関数が \(bx + c\) の形の場合は、\(c\) を負の数として入力してください。
b が 0 のときはどうなりますか？ 周期が 0 になる波は定義できません。0 で割るのを避けるため、計算機は 0 を返します。係数を確認してください。
