यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल किसी भी ज्यावक्रीय (साइन/कोसाइन) फलन का विश्लेषण करता है जो मानक रूप \(y = a\,\sin(bx - c) + d\) में लिखा हो (कोसाइन के लिए भी यह बिल्कुल इसी तरह काम करता है)। चार गुणांकों a, b, c और d से यह तरंग के चार प्रमुख रूपांतरण तुरंत निकाल देता है: आयाम (amplitude), आवर्तकाल (period), फेज़ शिफ्ट (phase shift) और ऊर्ध्वाधर शिफ्ट (vertical shift), साथ ही आवृत्ति (frequency) भी।
इसका उपयोग कैसे करें
अपने गुणांकों को ठीक वैसे ही डालें जैसे वे फलन में दिखते हैं। उदाहरण के लिए, \(y = 2\,\sin(3x - 1)\) में \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 1\), \(d = 0\) रखें। कैलकुलेटर ऋणात्मक मान और दशमलव दोनों को संभाल लेता है। यदि आपका फलन \(a\,\sin(b(x - h))\) के रूप में लिखा है, तो डालने से पहले इसे गुणा करके \(c = b\cdot h\) बना लें।
सूत्र की व्याख्या
आयाम \(|a|\) होता है — यानी वक्र अपनी मध्य रेखा से ऊपर या नीचे जितनी अधिकतम दूरी तक जाता है। आवर्तकाल \(\frac{2\pi}{|b|}\) है, जो एक पूरे चक्र की क्षैतिज लंबाई है — बड़ा \(|b|\) तरंग को संकुचित कर देता है। फेज़ शिफ्ट \(\frac{c}{b}\) है, यानी क्षैतिज विस्थापन (धनात्मक मान ग्राफ़ को दाईं ओर खिसकाता है)। ऊर्ध्वाधर शिफ्ट \(d\) मध्य रेखा को ऊपर या नीचे ले जाता है। आवृत्ति आवर्तकाल का व्युत्क्रम होती है।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(y = 2\,\sin(3x - 1)\)। आयाम $$\text{आयाम} = |2| = 2$$ आवर्तकाल $$\text{आवर्तकाल} = \frac{2\pi}{3} \approx 2.0944$$ फेज़ शिफ्ट $$\text{फेज़ शिफ्ट} = \frac{1}{3} \approx 0.3333 \ (\text{दाईं ओर})$$ ऊर्ध्वाधर शिफ्ट = 0। यानी यह तरंग x-अक्ष के चारों ओर 2 इकाई तक दोलन करती है, हर ≈2.09 इकाई पर एक चक्र पूरा करती है, और लगभग एक-तिहाई इकाई दाईं ओर खिसकी हुई है।
मुख्य शब्दों की परिभाषा
- आयाम \((|a|)\)
- तरंग के अधिकतम और न्यूनतम के बीच ऊर्ध्वाधर दूरी का आधा — मध्यरेखा के ऊपर शिखर की ऊंचाई। यह हमेशा \(a\) के निरपेक्ष मान के बराबर होता है; नकारात्मक \(a\) वक्र को मध्यरेखा के पार प्रतिबिंबित करता है लेकिन आयाम नहीं बदलता है।
- अवधि \(\left(\tfrac{2\pi}{|b|}\right)\)
- एक पूर्ण चक्र की क्षैतिज लंबाई। बड़ा \(|b|\) तरंग को संपीड़ित करता है (छोटी अवधि); छोटा \(|b|\) इसे खींचता है (लंबी अवधि)।
- चरण स्थानांतरण \(\left(\tfrac{c}{b}\right)\)
- वक्र का क्षैतिज विस्थापन। एक सकारात्मक मान ग्राफ को दाईं ओर स्थानांतरित करता है, एक नकारात्मक मान को बाईं ओर। ध्यान दें कि यह \(c/b\) है, केवल \(c\) नहीं।
- ऊर्ध्वाधर स्थानांतरण / मध्यरेखा \((d)\)
- क्षैतिज रेखा \(y = d\) जिसके बारे में तरंग दोलन करती है। \(d>0\) के लिए ग्राफ ऊपर जाता है और \(d<0\) के लिए नीचे।
- आवृत्ति \(\left(\tfrac{|b|}{2\pi}\right)\)
- \(x\) की प्रति इकाई पूर्ण चक्रों की संख्या; अवधि का व्युत्क्रम। भौतिक संदर्भों में जहाँ \(x\) समय है, इसे प्रति सेकंड चक्र (हर्ट्ज़) में मापा जाता है।
- कोणीय आवृत्ति \((b)\)
- \(x\) पर गुणांक, \(x\) की प्रति इकाई रेडियन में व्यक्त। यह सामान्य आवृत्ति से \(b = 2\pi f\) द्वारा संबंधित है और साइन के तर्क के कितनी तेजी से आगे बढ़ने को निर्धारित करता है।
- गुणांक \(a, b, c, d\)
- \(y = a\sin(bx - c)+d\) में: \(a\) ऊर्ध्वाधर खिंचाव और आयाम निर्धारित करता है, \(b\) क्षैतिज संपीड़न (अवधि/आवृत्ति) निर्धारित करता है, \(c\) \(c/b\) के माध्यम से क्षैतिज चरण स्थानांतरण को नियंत्रित करता है, और \(d\) मध्यरेखा की ऊर्ध्वाधर स्थिति निर्धारित करता है।
अधिक कार्यित उदाहरण
उदाहरण 1: \(y = -4\cos(2x + \pi) + 1\)
हालांकि कोसाइन के साथ लिखा गया है, वही रूपांतरण नियम लागू होते हैं। इसे \(a\cos(bx - c)+d\) से मेल खाएं \(2x+\pi\) को \(2x-(-\pi)\) के रूप में फिर से लिखकर, तो \(a=-4,\ b=2,\ c=-\pi,\ d=1\)।
- आयाम: \(|a| = |-4| = 4\)। नकारात्मक चिन्ह वक्र को प्रतिबिंबित करता है लेकिन आयाम 4 है।
- अवधि: \(\dfrac{2\pi}{|b|} = \dfrac{2\pi}{2} = \pi\)।
- चरण स्थानांतरण: \(\dfrac{c}{b} = \dfrac{-\pi}{2} = -\dfrac{\pi}{2}\), अर्थात \(\tfrac{\pi}{2}\) बाईं ओर।
- ऊर्ध्वाधर स्थानांतरण: \(d = 1\); मध्यरेखा \(y = 1\) है।
उदाहरण 2: \(y = 2\sin(0.5x - 1.5) - 3\)
यहाँ \(a=2,\ b=0.5,\ c=1.5,\ d=-3\)।
- आयाम: \(|a| = 2\)।
- अवधि: \(\dfrac{2\pi}{0.5} = 4\pi \approx 12.566\)।
- चरण स्थानांतरण: \(\dfrac{1.5}{0.5} = 3\) दाईं ओर।
- ऊर्ध्वाधर स्थानांतरण: \(d = -3\); मध्यरेखा \(y = -3\) है।
उदाहरण 3: \(y = \tfrac{3}{4}\sin(3x - \tfrac{\pi}{2})\)
आयाम के साथ एक भिन्नात्मक-आयाम केस \(a=\tfrac34,\ b=3,\ c=\tfrac{\pi}{2},\ d=0\)।
- आयाम: \(|a| = \tfrac34 = 0.75\)।
- अवधि: \(\dfrac{2\pi}{3} \approx 2.094\)।
- चरण स्थानांतरण: \(\dfrac{\pi/2}{3} = \dfrac{\pi}{6} \approx 0.524\) दाईं ओर।
- ऊर्ध्वाधर स्थानांतरण: \(d = 0\); मध्यरेखा \(x\)-अक्ष है।
आप इस वक्र के लिए एक एकल आउटपुट मान की पुष्टि कर सकते हैं — उदाहरण के लिए \(x=\tfrac{\pi}{2}\) पर, \(y = \tfrac34\sin(3\cdot\tfrac{\pi}{2} - \tfrac{\pi}{2}) = \tfrac34\sin(\pi) = \)0।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या यह कोसाइन के लिए भी काम करता है? हां। \(y = a\,\cos(bx - c) + d\) के लिए आयाम, आवर्तकाल, फेज़ शिफ्ट और ऊर्ध्वाधर शिफ्ट ठीक इसी तरीके से निकाले जाते हैं।
c धनात्मक होने पर मेरा फेज़ शिफ्ट धनात्मक क्यों है? \(bx - c\) के रूप में, शिफ्ट \(\frac{c}{b}\) ग्राफ़ को दाईं ओर ले जाती है। यदि आपका फलन \(bx + c\) का उपयोग करता है, तो c को ऋणात्मक संख्या के रूप में डालें।
अगर b शून्य हो तो क्या होगा? किसी तरंग के लिए 0 आवर्तकाल अपरिभाषित होता है, इसलिए शून्य से भाग देने से बचने के लिए कैलकुलेटर 0 लौटाता है — अपना गुणांक दोबारा जांच लें।
