लंब समद्विभाजक क्या होता है?
किसी रेखाखंड का लंब समद्विभाजक वह सीधी रेखा है जो रेखाखंड के मध्यबिंदु से होकर गुज़रती है और उसे समकोण (90°) पर काटती है। इस रेखा पर स्थित हर बिंदु रेखाखंड के दोनों सिरों से समान दूरी पर होता है। इसी गुण के कारण यह ज्यामिति, निर्देशांक प्रमेयों, वृत्त का केंद्र खोजने और त्रिभुज की रचनाओं (इससे परिकेंद्र यानी circumcenter मिलता है) में बेहद उपयोगी है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
अपने रेखाखंड के दोनों सिरों के निर्देशांक दर्ज करें — \((x_1, y_1)\) और \((x_2, y_2)\)। कैलकुलेटर आपको मध्यबिंदु, मूल रेखाखंड की ढाल, लंब ढाल, y-अंतःखंड और ढाल-अंतःखंड रूप (slope-intercept form) में लंब समद्विभाजक का पूरा समीकरण तुरंत बताएगा।
सूत्र की व्याख्या
सबसे पहले मध्यबिंदु निकालें \(M = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)। इसके बाद रेखाखंड की ढाल \(m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\) ज्ञात करें। लंब ढाल इसका ऋणात्मक व्युत्क्रम (negative reciprocal) होती है, यानी \(m_p = -\frac{1}{m}\)। अंत में मध्यबिंदु से होकर बिंदु-ढाल रूप का प्रयोग करें:
$$y - M_y = m_p\left(x - M_x\right)$$और फिर इसे \(y = m_p x + b\) के रूप में व्यवस्थित कर लें। विशेष स्थितियाँ: अगर रेखाखंड लंबवत हो (\(x_1=x_2\)) तो समद्विभाजक क्षैतिज होगा (\(y = M_y\)); और अगर रेखाखंड क्षैतिज हो (\(y_1=y_2\)) तो समद्विभाजक लंबवत होगा (\(x = M_x\))।
हल किया हुआ उदाहरण
बिंदु \((1, 2)\) और \((5, 6)\) लीजिए। मध्यबिंदु \(= (3, 4)\)। रेखाखंड की ढाल \(= \frac{6-2}{5-1} = 1\)। लंब ढाल \(= -1\)। समीकरण:
$$y - 4 = -1(x - 3) \rightarrow y = -x + 7$$यहाँ y-अंतःखंड 7 है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
अगर दोनों बिंदु एक ही हों तो क्या होगा? एक अकेला बिंदु कोई रेखाखंड परिभाषित नहीं करता, इसलिए कोई अद्वितीय समद्विभाजक नहीं बनता; कृपया दो अलग-अलग बिंदु दर्ज करें।
लंब ढाल ऋणात्मक व्युत्क्रम क्यों होती है? दो रेखाएँ तभी परस्पर लंब होती हैं जब उनकी ढालों का गुणनफल \(-1\) हो, इसलिए \(m_p = -\frac{1}{m}\) होता है।
क्या उत्तर एक लंबवत रेखा भी हो सकता है? हाँ। जब रेखाखंड क्षैतिज होता है, तो समद्विभाजक लंबवत होता है और इसे \(y = mx + b\) के बजाय \(x = \text{स्थिरांक}\) के रूप में लिखा जाता है।
