¿Qué es la mediatriz de un segmento?
La mediatriz de un segmento es la recta que pasa por su punto medio y lo corta formando un ángulo recto (90°). Todos los puntos de esta recta están a la misma distancia de los dos extremos del segmento, una propiedad que la hace fundamental en geometría, en las demostraciones con coordenadas, para hallar el centro de una circunferencia y en las construcciones de triángulos (es donde se localiza el circuncentro).
Cómo usar esta calculadora
Introduce las coordenadas de los dos extremos del segmento, \((x_1, y_1)\) y \((x_2, y_2)\). La calculadora te devuelve el punto medio, la pendiente del segmento original, la pendiente perpendicular, la ordenada al origen y la ecuación completa de la mediatriz en su forma explícita (\(y = mx + b\)).
La fórmula paso a paso
Primero se calcula el punto medio \(M = \left(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)\). Después la pendiente del segmento \(m = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\). La pendiente perpendicular es la inversa con signo cambiado (el opuesto del recíproco): \(m_p = -\dfrac{1}{m}\). Por último, se aplica la forma punto-pendiente a través del punto medio:
$$y - M_y = m_p\left(x - M_x\right)$$y se reordena hasta obtener \(y = m_p x + b\). Casos especiales: si el segmento es vertical (\(x_1 = x_2\)), la mediatriz es horizontal (\(y = M_y\)); si el segmento es horizontal (\(y_1 = y_2\)), la mediatriz es vertical (\(x = M_x\)).
Ejemplo resuelto
Puntos \((1, 2)\) y \((5, 6)\). Punto medio = \((3, 4)\). Pendiente del segmento = \(\dfrac{6-2}{5-1} = 1\). Pendiente perpendicular = \(-1\). Ecuación:
$$y - 4 = -1(x - 3) \;\rightarrow\; y = -x + 7$$La ordenada al origen es 7.
Preguntas frecuentes
¿Y si los dos puntos son iguales? Un único punto no define un segmento, así que no existe una mediatriz única; introduce dos puntos distintos.
¿Por qué la pendiente perpendicular es el opuesto del recíproco? Dos rectas son perpendiculares cuando el producto de sus pendientes es \(-1\), de modo que \(m_p = -\dfrac{1}{m}\).
¿El resultado puede ser una recta vertical? Sí. Cuando el segmento es horizontal, la mediatriz es vertical y se escribe como \(x = \text{constante}\) en lugar de \(y = mx + b\).
