¿Qué es la calculadora de ecuaciones cúbicas?
Esta herramienta resuelve cualquier ecuación cúbica con la forma \(ax^{3} + bx^{2} + cx + d = 0\) y halla sus tres raíces, ya sean reales o complejas. Combina el método de Cardano con la solución trigonométrica (el llamado casus irreducibilis) para que los resultados se mantengan numéricamente estables.
Cómo utilizarla
Introduce los cuatro coeficientes a, b, c y d. El coeficiente a debe ser distinto de cero para que la ecuación sea realmente cúbica. La calculadora te devuelve el discriminante, cuántas raíces reales existen y la parte real e imaginaria de cada raíz.
La fórmula paso a paso
Primero eliminamos el término cuadrático sustituyendo \(x = t - b/(3a)\), lo que nos da la cúbica reducida \(t^{3} + pt + q = 0\), donde \(p = \frac{3ac - b^{2}}{3a^{2}}\) y \(q = \frac{2b^{3} - 9abc + 27a^{2}d}{27a^{3}}\). El discriminante $$\Delta = -4p^{3} - 27q^{2}$$ determina la naturaleza de las raíces: si \(\Delta > 0\) hay tres raíces reales distintas, si \(\Delta = 0\) aparecen raíces reales repetidas y si \(\Delta < 0\) obtenemos una raíz real y un par de raíces complejas conjugadas. Cuando todas las raíces son reales, aplicamos $$t_k = 2\sqrt{-p/3}\cdot\cos\left(\tfrac{1}{3}\cdot\operatorname{acos}\left(\frac{3q}{p\cdot 2\sqrt{-p/3}}\right) - \frac{2\pi k}{3}\right).$$
Ejemplo resuelto
Para \(x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6 = 0\) tenemos \(a=1\), \(b=-6\), \(c=11\), \(d=-6\). La cúbica reducida da \(p = -\tfrac{1}{3}\) y \(q = -0{,}0741\). El discriminante es positivo, así que hay tres raíces reales que la calculadora ordena como 1, 2 y 3, justo la factorización \((x-1)(x-2)(x-3)\).
Preguntas frecuentes
¿Y si a = 0? Entonces ya no es una ecuación cúbica; esta herramienta exige que \(a \neq 0\).
¿Por qué algunas raíces son complejas? Una ecuación cúbica siempre tiene tres raíces dentro de los números complejos; cuando el discriminante es negativo, dos de ellas forman un par conjugado.
¿En qué orden aparecen las raíces? Las raíces reales se ordenan de menor a mayor para mayor coherencia.
