¿Qué es una ecuación racional?
Una ecuación racional es aquella que contiene una o más fracciones con la incógnita en el denominador. Esta calculadora trabaja con la forma habitual de dos fracciones \(\frac{a}{x + b} = \frac{c}{x + d}\), donde a, b, c y d son los números que introduces y x es la incógnita. Este tipo de ecuaciones aparece con frecuencia en álgebra y en problemas de tasas, mezclas y proporciones.
Cómo usar esta calculadora
Introduce las cuatro constantes: a y b describen la fracción de la izquierda \(\frac{a}{x + b}\), mientras que c y d describen la fracción de la derecha \(\frac{c}{x + d}\). Pulsa calcular y la herramienta elimina las fracciones, despeja x y te avisa si el resultado es un valor excluido (uno que haría cero algún denominador).
La fórmula explicada
Empezamos multiplicando en cruz: \(a(x + d) = c(x + b)\). Al desarrollar obtenemos \(ax + ad = cx + cb\). Agrupamos los términos con x en un mismo lado: \((a - c)x = cb - ad\). Siempre que a sea distinto de c, dividimos para obtener $$x = \frac{cb - ad}{a - c}.$$ Si a es igual a c, no hay solución o hay infinitas, según si \(cb - ad\) es distinto de cero o no.
Ejemplo resuelto
Resolvamos \(\frac{2}{x + 1} = \frac{3}{x + 4}\). Aquí a = 2, b = 1, c = 3, d = 4. Entonces $$x = \frac{cb - ad}{a - c} = \frac{3\cdot 1 - 2\cdot 4}{2 - 3} = \frac{3 - 8}{-1} = \frac{-5}{-1} = 5.$$ Comprobamos: \(\frac{2}{5 + 1} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\) y \(\frac{3}{5 + 4} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\). Ambos lados coinciden, así que x = 5.
Preguntas frecuentes
¿Qué es una solución extraña? Es un valor de x que resuelve la ecuación una vez eliminadas las fracciones, pero que hace cero alguno de los denominadores originales. Hay que descartarlo. La calculadora detecta estos casos de forma automática.
¿Qué pasa si a es igual a c? Los términos con x se cancelan. Si cb es igual a ad, la ecuación es una identidad (válida para todo x real); en caso contrario, no tiene solución.
¿Puede resolver ecuaciones de segundo grado? En esta forma de dos fracciones, la ecuación es lineal en x tras eliminar los denominadores, por lo que tiene como mucho una solución.
