Phương trình hữu tỉ là gì?
Phương trình hữu tỉ là phương trình chứa một hoặc nhiều phân thức có ẩn ở mẫu số. Máy tính này xử lý dạng hai phân thức thường gặp \(\frac{a}{x + b} = \frac{c}{x + d}\), trong đó a, b, c và d là các số bạn nhập vào, còn x là ẩn cần tìm. Loại phương trình này xuất hiện nhiều trong đại số, bài toán về tỉ lệ, bài toán chuyển động và bài toán pha trộn dung dịch.
Cách sử dụng máy tính
Nhập bốn hằng số: a và b mô tả phân thức bên trái \(\frac{a}{x + b}\), còn c và d mô tả phân thức bên phải \(\frac{c}{x + d}\). Nhấn nút tính toán và công cụ sẽ khử mẫu, giải tìm x, đồng thời cảnh báo nếu kết quả rơi vào giá trị bị loại trừ (giá trị làm cho một mẫu số bằng 0).
Giải thích công thức
Bắt đầu bằng cách nhân chéo: \(a(x + d) = c(x + b)\). Khai triển ra ta được \(ax + ad = cx + cb\). Chuyển các số hạng chứa x về một vế: \((a - c)x = cb - ad\). Miễn là a khác c, ta chia hai vế để được $$x = \frac{cb - ad}{a - c}.$$ Nếu a bằng c, phương trình hoặc vô nghiệm, hoặc có vô số nghiệm, tùy thuộc vào việc \(cb - ad\) có khác 0 hay không.
Ví dụ minh họa
Giải \(\frac{2}{x + 1} = \frac{3}{x + 4}\). Ở đây \(a = 2\), \(b = 1\), \(c = 3\), \(d = 4\). Khi đó $$x = \frac{cb - ad}{a - c} = \frac{3\cdot 1 - 2\cdot 4}{2 - 3} = \frac{3 - 8}{-1} = \frac{-5}{-1} = 5.$$ Kiểm tra lại: \(\frac{2}{5 + 1} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\) và \(\frac{3}{5 + 4} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\). Hai vế bằng nhau, vậy \(x = 5\).
Câu hỏi thường gặp
Nghiệm ngoại lai là gì? Đó là giá trị của x thỏa mãn phương trình sau khi khử mẫu, nhưng lại làm cho một mẫu số ban đầu bằng 0. Nghiệm này phải bị loại bỏ. Máy tính sẽ tự động cảnh báo những trường hợp như vậy.
Nếu a bằng c thì sao? Các số hạng chứa x sẽ triệt tiêu. Nếu \(cb\) bằng \(ad\) thì phương trình là một đẳng thức luôn đúng (mọi số thực x đều thỏa); ngược lại thì phương trình vô nghiệm.
Máy tính có giải được phương trình bậc hai không? Với dạng hai phân thức này, sau khi khử mẫu phương trình trở thành bậc nhất theo x, nên chỉ có nhiều nhất một nghiệm.
