Calculateur d'équations rationnelles

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Résultats

Solution en x

x = 5

a/(x + b) = c/(x + d)

Équation	2/(x + 1) = 3/(x + 4)
Produit en croix	2(x + 4) = 3(x + 1)
x	5

Qu'est-ce qu'une équation rationnelle ?

Une équation rationnelle est une équation qui contient une ou plusieurs fractions dont le dénominateur renferme une variable. Ce calculateur traite la forme classique à deux fractions $\frac{a}{x + b} = \frac{c}{x + d}$, où a, b, c et d sont des nombres que vous fournissez et où x est l'inconnue. On rencontre ce type d'équations en algèbre, ainsi que dans les problèmes de taux, de mélanges et de proportions.

Comment utiliser ce calculateur

Saisissez les quatre constantes : a et b décrivent la fraction de gauche $\frac{a}{x + b}$, tandis que c et d décrivent la fraction de droite $\frac{c}{x + d}$. Cliquez sur Calculer : l'outil élimine les fractions, résout l'équation en x et vous prévient si la réponse correspond à une valeur interdite (c'est-à-dire une valeur qui annulerait un dénominateur).

La formule expliquée

On commence par effectuer le produit en croix : $a(x + d) = c(x + b)$. En développant, on obtient $ax + ad = cx + cb$. On regroupe ensuite les termes en x d'un même côté : $(a - c)x = cb - ad$. Tant que a est différent de c, on divise pour obtenir $$x = \frac{cb - ad}{a - c}.$$ Si a est égal à c, l'équation n'admet soit aucune solution, soit une infinité de solutions, selon que $cb - ad$ est non nul ou nul.

Schéma montrant le produit en croix de deux fractions égalisées — Le produit en croix transforme l'équation rationnelle $\frac{a}{x+b} = \frac{c}{x+d}$ en $a(x+d) = c(x+b)$.

Exemple résolu

Résolvons $\frac{2}{x + 1} = \frac{3}{x + 4}$. Ici, $a = 2$, $b = 1$, $c = 3$ et $d = 4$. On a alors $$x = \frac{cb - ad}{a - c} = \frac{3\cdot 1 - 2\cdot 4}{2 - 3} = \frac{3 - 8}{-1} = \frac{-5}{-1} = 5.$$ Vérification : $\frac{2}{5 + 1} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ et $\frac{3}{5 + 4} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$. Les deux membres coïncident, donc $x = 5$.

Droite numérique marquant une solution et une valeur exclue — Une solution étrangère est écartée lorsqu'elle annule un dénominateur (valeur exclue).

FAQ

Qu'est-ce qu'une solution à exclure ? Il s'agit d'une valeur de x qui résout l'équation débarrassée de ses fractions, mais qui annule l'un des dénominateurs de départ. Elle doit être rejetée. Le calculateur les repère automatiquement.

Que se passe-t-il si a est égal à c ? Les termes en x s'annulent. Si cb est égal à ad, l'équation est une identité (vraie pour tout x réel) ; sinon, elle n'a aucune solution.

Peut-il résoudre des équations du second degré ? Avec cette forme à deux fractions, l'équation devient linéaire en x après élimination des dénominateurs : elle admet donc au plus une solution.

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