Qu'est-ce que le calculateur d'équation du troisième degré ?
Cet outil résout toute équation cubique de la forme \(ax^{3} + bx^{2} + cx + d = 0\) et détermine ses trois racines, qu'elles soient réelles ou complexes. Il s'appuie sur la méthode de Cardan combinée à la solution trigonométrique (le fameux casus irreducibilis) afin de garantir des résultats numériquement stables.
Comment l'utiliser
Saisissez les quatre coefficients \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\). Le coefficient \(a\) doit être différent de zéro pour que l'équation soit bien du troisième degré. Le calculateur affiche alors le discriminant, le nombre de racines réelles, ainsi que les parties réelle et imaginaire de chaque racine.
La formule expliquée
On commence par éliminer le terme du second degré en posant \(x = t - b/(3a)\), ce qui donne la cubique réduite \(t^{3} + pt + q = 0\), avec $$p = \frac{3ac - b^{2}}{3a^{2}}$$ et $$q = \frac{2b^{3} - 9abc + 27a^{2}d}{27a^{3}}.$$ Le discriminant $$\Delta = -4p^{3} - 27q^{2}$$ détermine la nature des racines : si \(\Delta > 0\), l'équation possède trois racines réelles distinctes ; si \(\Delta = 0\), certaines racines réelles sont multiples ; et si \(\Delta < 0\), on obtient une racine réelle accompagnée d'une paire de racines complexes conjuguées. Lorsque toutes les racines sont réelles, on utilise $$t_k = 2\sqrt{-\tfrac{p}{3}}\cdot\cos\left(\tfrac{1}{3}\cdot\operatorname{acos}\left(\frac{3q}{p\cdot 2\sqrt{-\tfrac{p}{3}}}\right) - \frac{2\pi k}{3}\right).$$
Exemple concret
Prenons $$x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6 = 0$$ : on a \(a=1\), \(b=-6\), \(c=11\), \(d=-6\). La cubique réduite donne \(p = -\tfrac{1}{3}\) et \(q = -0{,}0741\). Le discriminant étant positif, on obtient trois racines réelles que le calculateur classe en \(1\), \(2\) et \(3\) — soit exactement la factorisation \((x-1)(x-2)(x-3)\).
Questions fréquentes
Que se passe-t-il si \(a = 0\) ? Dans ce cas, l'équation n'est plus du troisième degré ; cet outil exige \(a \neq 0\).
Pourquoi certaines racines sont-elles complexes ? Une cubique admet toujours trois racines dans l'ensemble des nombres complexes ; lorsque le discriminant est négatif, deux d'entre elles forment une paire conjuguée.
Dans quel ordre les racines sont-elles affichées ? Les racines réelles sont triées par ordre croissant, par souci de cohérence.
