什麼是三次方程式計算器？
這個工具可求解任意形如 \(\text{a}\,x^{3} + \text{b}\,x^{2} + \text{c}\,x + \text{d} = 0\) 的三次方程式，找出全部三個根——無論是實根還是複數根。它結合卡丹諾（Cardano）解法與三角函數法（不可約情形，casus irreducibilis），確保運算結果在數值上保持穩定。
使用方法
依序輸入四個係數 \(\text{a}\)、\(\text{b}\)、\(\text{c}\) 與 \(\text{d}\)。係數 \(\text{a}\) 必須不為零，方程式才會是三次方程式。計算器會回傳判別式的值、實根的數量，以及每個根的實部與虛部。
公式解析
首先，我們透過代入 \(x = t - \frac{\text{b}}{3\text{a}}\) 來消去二次項，得到「降階三次方程式」\(t^{3} + pt + q = 0\)，其中 $$p = \frac{3\,\text{a}\,\text{c} - \text{b}^{2}}{3\,\text{a}^{2}}$$ $$q = \frac{2\,\text{b}^{3} - 9\,\text{a}\,\text{b}\,\text{c} + 27\,\text{a}^{2}\,\text{d}}{27\,\text{a}^{3}}$$ 判別式 $$\Delta = -4p^{3} - 27q^{2}$$ 決定了根的性質：\(\Delta > 0\) 時有三個相異實根；\(\Delta = 0\) 時有重根（皆為實數）；\(\Delta < 0\) 時則有一個實根與一對共軛複數根。當所有根皆為實數時，我們使用公式 $$t_k = 2\sqrt{-\frac{p}{3}}\cdot\cos\left(\frac{1}{3}\cdot\arccos\left(\frac{3q}{p\cdot 2\sqrt{-\frac{p}{3}}}\right) - \frac{2\pi k}{3}\right)$$
實例演算
以 \(x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6 = 0\) 為例，可得 \(\text{a}=1\)、\(\text{b}=-6\)、\(\text{c}=11\)、\(\text{d}=-6\)。降階後的三次方程式得出 \(p = -\frac{1}{3}\)、\(q = -0.0741\)。由於判別式為正，方程式有三個實根，計算器將其排序為 1、2 與 3——恰好對應因式分解 \((x-1)(x-2)(x-3)\)。
常見問題
如果 \(\text{a} = 0\) 會怎樣？ 那它就不是三次方程式了；本工具要求 \(\text{a} \neq 0\)。
為什麼有些根是複數？ 在複數範圍內，三次方程式必定有三個根；當判別式為負時，其中兩個根會構成一對共軛複數。
各個根以什麼順序排列？ 為了維持一致性，實根會由小到大依升冪排序。
