三次方程式の計算ツールとは？
このツールは、\(ax^{3} + bx^{2} + cx + d = 0\) の形をしたあらゆる三次方程式を解き、実数解・複素数解を問わず3つの解をすべて求めます。計算にはカルダノの方法に加えて三角関数による解法（還元不能の場合＝casus irreducibilis）を併用しているため、数値的に安定した結果が得られます。
使い方
4つの係数 a・b・c・d を入力するだけです。三次方程式として成立させるには、係数 \(a\) が 0 以外である必要があります。ツールは判別式、実数解の個数、そして各解の実部と虚部を返します。
計算の仕組み（公式の解説）
まず \(x = t - \frac{b}{3a}\) と置換して二次の項を消去し、簡約三次方程式 \(t^{3} + pt + q = 0\) を導きます。ここで $$p = \frac{3ac - b^{2}}{3a^{2}}, \qquad q = \frac{2b^{3} - 9abc + 27a^{2}d}{27a^{3}}$$ です。判別式 $$\Delta = -4p^{3} - 27q^{2}$$ によって解の性質が決まります。\(\Delta > 0\) のときは相異なる3つの実数解、\(\Delta = 0\) のときは重解（実数）、\(\Delta < 0\) のときは1つの実数解と互いに共役な1組の複素数解になります。すべての解が実数の場合は、 $$t_k = 2\sqrt{-\frac{p}{3}}\cdot\cos\left(\frac{1}{3}\cdot\operatorname{acos}\left(\frac{3q}{p\cdot 2\sqrt{-\frac{p}{3}}}\right) - \frac{2\pi k}{3}\right)$$ を用いて計算します。
計算例
\(x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6 = 0\) の場合、\(a=1\)、\(b=-6\)、\(c=11\)、\(d=-6\) です。簡約三次方程式に直すと \(p = -\frac{1}{3}\)、\(q = -0.0741\) となります。判別式は正なので3つの実数解を持ち、ツールはこれらを昇順に並べて 1、2、3 と出力します。これはまさに \((x-1)(x-2)(x-3)\) という因数分解に対応しています。
よくある質問
a = 0 の場合はどうなりますか？ その場合は三次方程式ではなくなります。このツールでは \(a \neq 0\) であることが必要です。
なぜ複素数の解が出ることがあるのですか？ 三次方程式は複素数の範囲では必ず3つの解を持ちます。判別式が負のとき、そのうち2つが互いに共役な複素数の組になります。
解はどんな順番で表示されますか？ 結果を見やすくするため、実数解は昇順（小さい順）に並べて表示します。
