有理方程式（分数方程式）とは？
有理方程式とは、分母に未知数を含む分数を1つ以上もつ方程式のことです。この計算ツールは、最もよく使われる2つの分数からなる形 \(\frac{a}{x + b} = \frac{c}{x + d}\) を扱います。ここで a・b・c・d は入力する数値、x が求めたい未知数です。こうした方程式は、代数の問題をはじめ、速さ・割合、混合、比例の問題などで頻繁に登場します。
このツールの使い方
4つの定数を入力します。a と b は左側の分数 \(\frac{a}{x + b}\) を、c と d は右側の分数 \(\frac{c}{x + d}\) を表します。「計算する」を押すと、ツールが分母を払い、x について解いて、その答えが除外値（分母を0にしてしまう値）に当たる場合は警告を表示します。
計算式のしくみ
まず、たすき掛け（交差相乗）を行います：\(a(x + d) = c(x + b)\)。展開すると \(ax + ad = cx + cb\) となります。x の項を片側にまとめると \((a - c)x = cb - ad\)。a が c と等しくない限り、両辺を割って $$x = \frac{cb - ad}{a - c}$$ が得られます。もし a と c が等しい場合は、\(cb - ad\) が0でないかどうかによって、解なしか、解が無数にあるかのいずれかになります。
計算例
\(\frac{2}{x + 1} = \frac{3}{x + 4}\) を解いてみましょう。ここでは a = 2、b = 1、c = 3、d = 4 です。すると $$x = \frac{cb - ad}{a - c} = \frac{3 \cdot 1 - 2 \cdot 4}{2 - 3} = \frac{3 - 8}{-1} = \frac{-5}{-1} = 5$$ となります。検算してみると、\(\frac{2}{5 + 1} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)、\(\frac{3}{5 + 4} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\) で、両辺が一致します。したがって \(x = 5\) です。
よくある質問（FAQ）
無縁解（外来解）とは何ですか？ 分母を払った後の方程式は満たすものの、元の式の分母を0にしてしまう x の値のことです。この解は不適として除外しなければなりません。本ツールはこれらを自動的に判別して表示します。
a と c が等しいときはどうなりますか？ x の項が打ち消し合います。cb が ad と等しければ、その方程式は恒等式となり（すべての実数 x が解）、そうでなければ解はありません。
2次方程式も解けますか？ この2つの分数からなる形では、分母を払うと x について1次式になるため、解は最大でも1つです。
