Калькулятор рациональных уравнений

Введите расчет

a (числитель слева)

b (знаменатель слева, x + b)

c (числитель справа)

d (знаменатель справа, x + d)

Решает рациональное уравнение a/(x + b) = c/(x + d) относительно x.

Результатов

Решение для x

x = 5

a/(x + b) = c/(x + d)

Уравнение	2/(x + 1) = 3/(x + 4)
После перекрёстного умножения	2(x + 4) = 3(x + 1)
x	5

Что такое рациональное уравнение?

Рациональное уравнение — это уравнение, в котором есть одна или несколько дробей с переменной в знаменателе. Этот калькулятор работает с самым распространённым случаем — уравнением с двумя дробями вида \( \frac{a}{x + b} = \frac{c}{x + d} \), где a, b, c и d — числа, которые задаёте вы, а x — неизвестное. Такие уравнения встречаются в алгебре, а также в задачах на скорость, смеси и пропорции.

Как пользоваться калькулятором

Введите четыре числа: a и b задают левую дробь \( \frac{a}{x + b} \), а c и d — правую дробь \( \frac{c}{x + d} \). Нажмите «Рассчитать» — калькулятор избавится от дробей, найдёт x и предупредит вас, если ответ оказался недопустимым значением (то есть таким, при котором знаменатель обращается в ноль).

Разбор формулы

Начнём с перекрёстного умножения: \( a(x + d) = c(x + b) \). Раскрыв скобки, получим \( ax + ad = cx + cb \). Перенесём члены с x в одну сторону: \( (a - c)x = cb - ad \). Пока a не равно c, делим и получаем

$$x = \frac{cb - ad}{a - c}.$$

Если же a равно c, то решений либо нет вовсе, либо бесконечно много — это зависит от того, отлично ли от нуля выражение \( cb - ad \).

Реклама

Перекрёстное умножение превращает рациональное уравнение \( \frac{a}{x+b} = \frac{c}{x+d} \) в \( a(x+d) = c(x+b) \).

Пример с решением

Решим уравнение \( \frac{2}{x + 1} = \frac{3}{x + 4} \). Здесь a = 2, b = 1, c = 3, d = 4. Тогда

$$x = \frac{cb - ad}{a - c} = \frac{3 \cdot 1 - 2 \cdot 4}{2 - 3} = \frac{3 - 8}{-1} = \frac{-5}{-1} = 5.$$

Проверка: \( \frac{2}{5 + 1} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \) и \( \frac{3}{5 + 4} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \). Обе части равны, значит x = 5.

Посторонний корень отбрасывается, если он обращает знаменатель в ноль (недопустимое значение).

Частые вопросы

Что такое посторонний корень? Это значение x, которое удовлетворяет уравнению после избавления от дробей, но при этом обращает в ноль один из исходных знаменателей. Такой корень нужно отбросить. Калькулятор отмечает подобные случаи автоматически.

Что делать, если a равно c? Члены с x взаимно сокращаются. Если при этом cb равно ad, уравнение становится тождеством (подходит любое действительное x); в противном случае решений нет.

Может ли калькулятор решать квадратные уравнения? Для формы с двумя дробями уравнение после избавления от знаменателей становится линейным относительно x, поэтому у него не более одного решения.