परिमेय समीकरण कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

परिणाम

x का हल

x = 5

a/(x + b) = c/(x + d)

समीकरण	2/(x + 1) = 3/(x + 4)
क्रॉस-गुणा किया गया	2(x + 4) = 3(x + 1)
x	5

परिमेय समीकरण क्या होता है?

परिमेय समीकरण वह समीकरण है जिसमें एक या अधिक ऐसी भिन्नें होती हैं जिनके हर (denominator) में चर (variable) मौजूद हो। यह कैलकुलेटर सबसे आम दो-भिन्न वाले रूप $ \frac{a}{x + b} = \frac{c}{x + d} $ को हल करता है, जहाँ a, b, c और d वे संख्याएँ हैं जो आप देते हैं और x अज्ञात राशि है। ऐसे समीकरण बीजगणित, दर (rates), मिश्रण और अनुपात से जुड़ी समस्याओं में अक्सर सामने आते हैं।

इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

चार स्थिरांक (constants) दर्ज करें: a और b बाईं भिन्न $ \frac{a}{x + b} $ को दर्शाते हैं, जबकि c और d दाईं भिन्न $ \frac{c}{x + d} $ को दर्शाते हैं। "गणना करें" दबाते ही टूल भिन्नों को हटा देता है, x का मान निकालता है, और यदि उत्तर एक वर्जित मान (ऐसा मान जो किसी हर को शून्य बना दे) निकले तो आपको चेतावनी देता है।

सूत्र की व्याख्या

सबसे पहले क्रॉस-गुणा करें: $ a(x + d) = c(x + b) $। विस्तार करने पर मिलता है $ ax + ad = cx + cb $। अब x वाले पदों को एक ओर ले जाएँ: $ (a - c)x = cb - ad $। जब तक a, c के बराबर नहीं है, तब तक भाग देकर पाते हैं $$ x = \frac{cb - ad}{a - c} $$ यदि a बराबर c हो जाए, तो cb − ad शून्य है या नहीं, इसके आधार पर या तो कोई हल नहीं होता या अनंत हल होते हैं।

बराबर रखी गई दो भिन्नों के क्रॉस-गुणन को दर्शाता आरेख — क्रॉस-गुणन परिमेय समीकरण $ \frac{a}{x+b} = \frac{c}{x+d} $ को $ a(x+d) = c(x+b) $ में बदल देता है।

हल किया हुआ उदाहरण

$ \frac{2}{x + 1} = \frac{3}{x + 4} $ को हल करें। यहाँ a = 2, b = 1, c = 3, d = 4। तब $$ x = \frac{cb - ad}{a - c} = \frac{3\cdot 1 - 2\cdot 4}{2 - 3} = \frac{3 - 8}{-1} = \frac{-5}{-1} = 5 $$ जाँच करें: $ \frac{2}{5 + 1} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $ और $ \frac{3}{5 + 4} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} $। दोनों पक्ष बराबर हैं, अतः $ x = 5 $।

एक हल और एक वर्जित मान को दर्शाती संख्या रेखा — बाह्य हल को तब हटा दिया जाता है जब वह किसी हर को शून्य बना देता है (वर्जित मान)।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

बहिर्गत हल (extraneous solution) क्या होता है? x का वह मान जो भिन्नें हटाने के बाद बने समीकरण को तो हल कर देता है, लेकिन मूल समीकरण के किसी हर को शून्य बना देता है। ऐसे मान को अस्वीकार करना पड़ता है। यह कैलकुलेटर इन्हें अपने आप चिह्नित कर देता है।

यदि a बराबर c हो तो क्या होगा? तब x वाले पद आपस में कट जाते हैं। यदि cb बराबर ad हो तो समीकरण एक सर्वसमिका (identity) बन जाता है (हर वास्तविक x इसका हल है); अन्यथा कोई हल नहीं होता।

क्या यह द्विघात समीकरण हल कर सकता है? इस दो-भिन्न वाले रूप में हर हटाने के बाद समीकरण x में रैखिक (linear) बन जाता है, इसलिए अधिकतम एक ही हल संभव है।

संबंधित कैलकुलेटर